杨华军，男，电子科技大学教授，中国宇航协会会员，四川省物理学会会员，四川省学术和技术带头人后备人选，电子科技大学中青年学术带头人，光学学科责任教授。长期从事光通信技术、光子晶体器件及应用、激光雷达成像、计算机光学辅助设计等研究方向科研工作。自然科学奖和科技发明奖评审专家，物理学报、Chinese Optics Letters、中国激光等期刊评审专家。2003年8月至2004年3月，于美国加州大学圣巴巴拉分校和南加州大学光纤通信研究室做不错访问学者，访问期间从事光子晶体光纤通信技术研究工作。主持国家自然科学基金、总装预研基金等科研项目十余项，发表研究论文五十余篇，培养博士、硕士研究生四十余名。 长期从事大学本科“数学物理方法”省级精品课程教学，出版著作《数学物理方法与仿真》,电子工业出版社。获得四川省第七届教学成果二等奖，并长期从事研究生“光学系统CAD”课程教学工作。

篇复变函数
章复数与复变函数3
1.1复数概念及其运算3
1.1.1复数概念3
1.1.2复数的基本代数运算4
1.2复数的表示4
1.2.1复数的几何表示4
1.2.2复数的三角表示6
1.23复数的指数表示6
1.2.4共辄复数7
1.2.5复球面、元穷远点7
1.3复数的乘幕与方根8
1.3.1复数的乘罪8
1.3.2复数的方根9
1.3.3实践编程：正十七边形的几何作图法10
1.4区域11
1.4.1基本概念11
1.4.2区域的判断方法及实例分析14
1.5复变函数14
1.5.1复变函数概念14
1.5.2复变函数的儿何意义——映射15
1.6复变函数的极限16
1.6.1复变函数极限概念16
1.6.2复变函数极限的基本定理17
1.7复变函数的连续18
1.7.1复变函数连续的概念18
1.7.2复变函数连续的基本定理18
1.8典型综合实例19
小结23
习题125
计算机仿真编程实践26
第2章解析函数28
2.1复变函数导数与微分28
2.1.1复变函数的导数28
2.1.2复变函数的微分概念30
2.1.3可导的必要条件30
2.1.4可导的充分必要条件32
2.1.5求导法则33
2.1.6复变函数导数的几何意义34
2.2解析函数35
2.2.1解析函数的概念35
2.2.2解析函数的法则36
2.2.3函数解析的充分必要条件37
2.2.4解析函数的几何意义（映射的保角性）39
2.3初等解析函数40
2.3.1指数函数（单值函数）40
2.3.2对数函数——指数函数的反函数（多值函数）41
2.3.3三角函数（单值函数）43
2.3.4反三角函数（多值函数）45
2.3.5双曲函数（单值函数）46
2.3.6反双曲函数（多值函数）47
2.3.7整幕函数z＂（单值函数）47
2.3.8一般辱函数与根式函数w=＇:f1（多值函数）48
2.3.9多值函数的基本概念49
2.4解析函数与调和函数的关系51
2.4.1调和函数与共辄调和函数的概念51
2.4.2解析函数与调和函数之间的关系51
2.4.3解析函数的构建方法52
2.5解析函数的物理意义平面矢量场53
2.5.1用解析函数表述平面矢量场53
2.5.2静电场的复势54
2.6典型综合实例56
小结58
习题259
计算机仿真编程实践60
第3章复变函数的积分61
3.1复变函数积分及性质61
3.1.1复变函数积分的概念61
3.1.2复积分存在的条件及计算方法62
3.1.3复积分的基本性质62
3.1.4复积分的计算典型实例63
3.1.5复变函数环路积分的物理意义64
3.2柯西积分定理及其应用65
3.2.1柯西积分定理65
3.2.2不定积分66
3.2.3典型应用实例68
3.2.4柯西积分定理（柯西古萨定理）的物理意义68
3.3基本定理的推广——复合闭路定理69
3.4柯西积分公式72
3.4.1有界区域的单连通柯西积分公式72
3.4.2有界区域的复连通柯西积分公式73
3.4.3元界区域的柯西积分公式74
3.5柯西积分公式的几个重要推论76
3.5.1解析函数的元限次可微性（高阶导数公式）76
3.5.2解析函数的平均值公式78
3.5.3柯西不等式78
3.5.4刘维尔定理79
3.5.5莫勒纳定理79
3.5.6优选模原理79
3.5.7代数基本定理80
3.6典型综合实例80
小结85
习题386
计算机仿真编程实践88
第4章解析函数的幂级数表示89
4.1复数项级数的基本概念89
4.1.1复数项级数概念89
4.1.2复数项级数的判断准则和定理89
4.2复变函数项级数91
4.3幂级数93
4.3.1幂级数概念93
4.3.2收敛圆与收敛半径94
4.3.3收敛半径的求法95
4.4解析函数的泰勒级数展开式98
4.4.1泰勒级数98
4.4.2将函数展开成泰勒级数的方法99
4.5罗朗级数及展开方法100
4.5.1罗朗级数100
4.5.2罗朗级数展开方法实例103
4.5.3用级数展开法计算闭合环路积分105
4.6典型综合实例105
小结108
习题4110
计算机仿真编程实践112
第5章留数定理113
5.1解析函数的孤立奇点113
5.1.1孤立奇点概念113
5.1.2孤立奇点的分类及其判断定理113
5.2解析函数在元穷远点的性质117
5.3留数概念118
5.4留数定理与留数和定理120
5.5留数的计算方法.121
5.5.1有限远点留数的计算方法121
5.5.2元穷远点的留数计算方法123
5.6用留数定理计算实积分125
5.6.1/R(co58,51n8)d8型裂分125
5.6.型积分127
5.6.型积分128
5.6.4其他类型（积分路径上有奇点）的识分计算举例130
5.7典型综合实例132
小结136
习题5137
计算机仿真编程实践139
第6章保角映射140
6.1保角映射的概念140
6.2分式线性映射141
6.2.1分式线性映射的概念141
6.2.2两种基本映射142
6.2.3分式线性映射的性质143
6.2.4分式线性映射的确定及应用145
6.2.5三类典型的分式结性映射148
6.3几个初等画数所构成的映射150
6.3.1幕函数映射150
6.3.2指数函数w=e＇映射151
6.3.3儒可夫斯基函数映射.152
6.4典型综合实例.153
小结156
习题6157
计算机仿真编程实践158
篇复变函数论全篇总结框图158
篇综合测试题159
第二篇数学物理方程
第7章数学建模——散学物理定解问题162
7.1数学建模——波动方程类型的建立163
7.1.1被动方程的建立163
7.1.2波动方程的定解条件169
7.2数学建模——热传导方程类型的建立171
7.2.1数学物理方程——热传导类型方程的建立171
7.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件174
7.3数学建模——稳定场方程类型的建立175
7.3.1稳定场方程类型的建立175
7.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件176
7.4数学物理定解理论177
7.4.1定解条件和定解问题的提法177
7.4.2数学物理定解问题的适定性178
7.4.3数学物理定解问题的求解方法178
7.5典型综合实例178
小结181
习题7181
计算机仿真编程实践182
第8章二阶线性偏微分方程的分类183
8.1基本概念183
8.2数学物理方程的分类.184
8.3二阶线性偏微分方程标准化187
8.4线性偏微分方程解的特征190
8.5典型综舍实例191
小结192
习题8193
计算机仿真编程实践.193
第9章行波法与达朗贝尔公式194
9.1二阶线性偏微分方程的通解194
9.2二阶线性偏微分方程的行波解195
9.3达朗贝尔公式196
9.3.1一维波动方程的达朗贝尔公式196
9.3.2达朗贝尔公式的物理意义197
9.4达朗贝尔公式的应用197
9.4.1齐次偏微分方程求解197
9.4.2非齐次偏微分方程的求解200
9.5定解问题的适定性验证201
9.6典型综合实例202
小结205
习题9206
计算机仿真编程实践206
0章分离变量法207
10.1分离变量理论207
10.1.1偏微分方程变量分离及条件207
10.1.2边界条件可实施变量分离的条件208
10.2直角坐标系下的分离变量法208
10.2.1分离变量法介绍208
10.2.2解的物理意义211
10.2.3二维形式的直角坐标分离变量212
10.2.4直角坐标系分离变量例题分析213
10.3二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法217
10.4球坐标系下的分离变量法219
10.4.1拉普拉斯方程也＝O的分离变量（与时间无关）219
10.4.2与时间有关的方程的分离变量221
10.4.3亥姆霍兹方程的分离变量222
10.5柱坐标系下的分离变量223
10.5.1与时间元关的拉普拉斯方程分离变量223
10.5.2与时间相关的方程的分离变量225
10.6非齐次三阶线性偏微分方程的解法225
10.6.11自松方程非齐次方程的特解法225
10.6.2非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法227
10.7非齐次边界条件的处理229
10.8典型综合实例231
小结235
习题10237
计算机仿真编程实践.239
1章幂级数解法——本征值问题240
11.1二阶常微分方程的事级数解法240
11.1.1幕级数解法理论概述.240
11.1.2常点邻域上的事级数解法（勒让德方程的求解）241
11.1.3奇点邻峨的级数解法（贝塞尔方程的求解）243
11.2施图姆－刘维尔本征值246
11.2.1施图姆－刘维尔本征值问题246
11.2.2施图姆－刘维尔本征值问题的性质247
11.2.3广义悻里叶级数249
11.2.4复数的本征函数族249
11.2.5希尔伯特空间矢量分解250
11.3综合实例250
小结251
习题11252
计算机仿真编程实践252
2章格林函数法253
12.1格林公式253
12.2解泊松方程的格林函数法253
12.3元界空间的格林函数基本解256
12.3.1三维球对称情形257
12.3.2工维轴对称情形257
12.4用电像法确定格林函数258
12.4.1上半平面区域边值问题的格林函数构建方法259
12.4.2上半空间内求解拉普拉斯方程的边值问题260
12.4.3圆形区域边值问题的格林函数构建261
12.4.4球形区域边值问题的格林函数掏建262
12.5典型综合实例264
小结265
习题12266
计算机仿真编程实践267
3章积分变换法求解定解问题268
13.1傅里叶变换及性质268
13.1.1傅里叶变换268
13.1.2广义儒里叶变换269
13.1.3傅里叶变换的基本性质271
13.2拉普拉斯变换及性质276
13.2.1拉普拉斯变换276
13.2.2拉普拉斯变换的性质278
13.2.3拉普拉斯变换的反演281
13.3傅里叶变换法解数学物理定解问题283
13.3.1弦振动问题284
13.3.2热传导问题285
13.3.3稳定场问题286
13.4拉普拉斯变换解定解问题288
13.4.1元界区域的问题288
13.4.2半元界区域的问题288
小结290
习题13292
4章保角变换法求解定解问题294
14.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系294
14.2保角变换法求解定解问题典型实例295
习题14299
5章戴学物理方程综述300
15.1线性偏微分方程解法综述300
15.2非线性偏微分方程301
15.2.1孤立波302
15.2.2冲击波303
小结304
第二篇综合测试题305
第三篇特殊函数
6章勒让德多项式——球函数308
16.1勒让德方程及其解的表示308
16.1.1勒让德方程、勒让德多项式308
16.1.2勒让德多项式的表示308
16.2勒让德多项式的性质及其应用311
16.2.1勒让德多项式的性质311
16.2.2勒让德多项式的应用（广义得垦叶级数展开）313
16.3勒让德多项式的生成函数（母函数）315
16.3.1勒让德多项式的生成函数的定义315
16.3.2勒让德多项式的递推公式316
16.4连带勒让德函数318
16.4.1连带勒让德函数的定义318
16.4.2连带勒让德函数的微分表示319
16.4.3连带勒让德函数的积分表示320
16.4.4连带勒让德函数的正交关系与模的公式320
16.4.5连带勒让德函数——广义傅里叶级数320
16.4.6连带勒让德函数的递推公式321
16.5球函数321
16.5.1球函数的方程及其解321
16.5.2球函数的正交关系和模的公式322
16.5.3球面上函数的广义傅里叶级数323
16.5.4拉普拉斯方程的非轴对称定解问题324
16.6典型综合实例325
小结328
习题16331
计算机仿真编程实践331
7章贝塞尔函数332
17.1贝塞尔方程及其解332
17.1.1贝塞尔方程332
17.1.2贝塞尔方程的解333
17.2三类贝塞尔函数的表示式及性质333
17.2.1类贝塞尔函数333
17.2.2第二类贝塞尔函数335
17.2.3第三类贝塞尔函数335
17.3贝塞尔函数的基本性质336
17.3.1贝塞尔函数的递推公式336
17.3.2贝塞尔函数与本征值问题338
17.3.3贝塞尔函数的正交性和模340
17.3.4广义德里叶－贝塞尔级教341
17.3.5贝塞尔函数的母函数（生成函数）342
17.4虚宗量贝塞尔方程及其解343
17.4.1虚宗量贝塞尔方程的解343
17.4.2类虚宗量贝塞尔函数的性质344
17.4.3第二类虚宗量贝塞尔函数的性质345
17.5球贝塞尔方程及其解.345
17.5.1球贝塞尔方程.345
17.5.2球贝塞尔方程的解345
17.5.3球贝塞尔函数的级数表示346
17.5.4球贝塞尔函数的递推公式346
17.5.5球贝塞尔函数的初等函数表示式346
17.5.6球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题347
17.6典型综合实例348
小结350
习题17352
讨算机仿真编程实践353
第三篇综合测试题353
第四篇计算机仿真与实践
8章计算机仿真在复变函数中的应用355
18.1复数运算和复变函数的图形355
18.1.1复数的基本运算355
18.1.2复数的运355
18.1.3复变函数的图形357
18.2复变函数的极限与导数、解析函数360
18.2.1复变函数的极限360
18.2.2复变函数的导数361
18.2.3解析函数361
18.3复变画数的积分与留数定理362
18.3.1非闭合路径的积分计算362
18.3.2闭合路径的积分计算362
18.4复变画数级数364
18.4.1复变函数级数的收敛半径364
18.4.2单变量函数的泰勒级数展开365
18.4.3多变量函数的泰勒级数展开366
18.5傅里叶变换及其逆变换367
18.5.1傅里叶积分变换367
18.5.2傅里叶逆变换368
18.6拉普拉斯变换及其逆变换368
18.6.1拉普拉斯变换368
18.6.2拉普拉斯逆变换369
计算机仿真编程实践370
9章数学物理方程的计算机仿真求解371
19.1用偏微分方程工具箱求解偏微分方程371
19.1.1用GU1解PDE问题371
19.1.2计算结果的可视化372
19.2计算机仿真编程求解偏微分方程374
19.2.1双曲型：波动方程的求解374
19.2.2抛物型：热传导方程的求解377
19.2.3椭圆型：稳定场方程的求解379
19.2.4点源泊松方程的适应解381
19.2.5亥姆霍兹方程的求解382
19.3定解问题的计算机仿真显示383
19.3.1波动方程解的动态由示384
19.3.2热传导方程解的分布385
19.3.31自松方程解的分布386
19.3.4格林函数解的分布387
19.3.5本征值问题中本征函数的收敛及其分布388
讨算机仿真编程实践389
第20章特殊函数的计算机仿真应用390
20.1连带勒让德函数、勒让德多项式、球函数390
20.1.1连带勒让德函数390
20.1.2勒让德多项式390
20.1.3球函数391
20.1.4勒让德多项式的母函数图形391
20.2贝塞尔画数（柱函数）及其性质392
20.2.1贝塞尔函数及仿真392
20.2.2虚宗量贝塞尔函数394
20.2.3球贝塞尔函数的图形394
20.2.4平面被用柱面波形式展开395
20.2.5定解问题的图形显示396
20.3其他特殊函数397
计算机仿真编程实践397
第21章数学物理方法仿真实践398
21.1复变函数仿真实践398
21.2数学物理方程仿真实践400
21.2.1基模高斯光束的传输特性仿真400
21.2.2光子晶体中本征值问题的仿真403
21.3特殊函数应用仿真实践——布拉格光纤光传输特性仿真405
参考文献410

本书系统地阐述了复变函数论、数学物理方程的各种解法、特殊函数以及计算机仿真编程实践等内容，对培养思维能力和实践编程能力具有指导意义。本书在取材的深度和广度上充分考虑到前沿学科领域知识内容，形成了具有前沿学科特点的数学物理方法与计算机仿真相结合的系统化理论体系。本书结构层次清晰，理论具有系统性和完整性，重点立足于对思维能力的培养，加强计算机仿真能力的训练，分别介绍了复变函数、数学物理方程和特殊函数的计算机仿真求解及其解的仿真图形显示。习题解答和仿真程序等可以通过网络下载。本书可作为物理学、地球物理学、电子信息科学、光通信技术、空间科学、天文学、地质学、海洋科学、材料科学等学科领域的理工科大学本科教材，也可供相关专业的研究生、科技工作者作为参考资料并进行计算机仿真训练。