图像和信号复原是图像处理和计算机视觉的基础性问题，被广泛应用于探测与遥感、医学成像、公共安全监控等领域，旨在从具有光学模糊和噪声污染等图像中恢复清晰化图像，其挑战性在于不适定数学反问题的病态性。图像全变差正则化理论是图像处理的重要方法，已经广泛应用于图像复原、不完全信号重建等。

《图像复原的变分正则化建模——从整数阶到分数阶》系统地阐述了图像全变差正则化理论作为反问题建模的基础理论、优化技术与应用算法，同时阐述了若干全变差正则化理论模型的新型推广形式，包括高阶方法和分数阶方法。该书通过大量的应用实例，有机地将理论和实践结合，深入浅出介绍了模型的数学物理机理、几何结构与细节保持的图像先验建模思路以及高效求解方法。

《图像复原的变分正则化建模——从整数阶到分数阶》可以作为图像处理和计算机视觉领域研究人员的专业参考书。

从原始人在石壁上作画开始，图像信息的记录已成为人类文明传承的主要手段之一。所谓“耳听为虚、眼见为实”，这不仅是因为人类感知的主要信息源来自视觉，还因为图像是一种能够方便、简洁和紧致地表示物理世界的信息媒介。随着科技的发展，人类已经能够通过图像采集设备获取为人类视觉所感知的一系列图像信息，包括数字图像、数字视频、遥感图像、医学图像等，形成一个以数字图像为载体的大数据世界。此外，以电磁波辐射为基础，成像科学朝着高空间分辨率、高光谱分辨率和高时间分辨率等方向发展。利用各类波段成像的技术和设备，包括用于核医学和天文图像的伽马射线成像、用于医学和工业成像的X射线成像、用于工业检测和天文学的紫外波段成像、用于微光和夜视的红外波段成像、用于雷达目标探测与遥感的微波波段成像、用于核磁共振的无线电波成像等。面对海量的图像信息，数字图像处理的科学理论与技术手段得到迅猛发展，成为跨越数学、计算机科学、控制科学和人工智能等前沿科技的领域。

受到硬件以及成像条件的影响，在数字图像的获取过程中往往受到噪声污染、模糊降质、分辨率降低等因素影响，使获取的图像质量不足以满足应用需求。图像复原就是希望利用获取的低质量图像．通过数学建模和算法设计来恢复高质量清晰的图像。图像复原研究的问题是低层视觉的重要图像处理任务，也是高层视觉分析的基础，在遥感监测、医学成像、视频监控、军事侦察和公共安全等领域具有广泛应用前景，是图像处理、计算机视觉、人工智能等领域关注的热点。同时，图像复原研究的问题作为典型的不适定数学反问题，也对推动问题驱动的数学理论和方法的研究起到了重要作用，对于促进数学与计算机科学、控制科学、人工智能等领域的交叉融合与协同发展起到了积极作用。

图像处理的许多问题，包括图像去噪、图像去模糊、图像超分辨和压缩感知重建等，本质上都可以看作是不完全测量信号的复原问题，在数学上是典型的数学反问题。处理这类问题最大的挑战是信息的不完整性导致的不适定性，而变分正则化提供了处理不适定问题的有效途径。本书主要介绍变分正则化框架下的图像复原变分模型及其算法。

对于变分正则化图像复原而言，具有图像高效表征和几何结构捕获能力的先验建模方法是研究者一直探索的核心内容。20世纪90年代初，Rudin、Osher和Fatemi等数学家提出了有界变差函数空间图像建模理论，其思想是将图像建模为变差有限的二维信号，从而可以克服索伯列夫空间不能有效刻画“跳跃间断”或者阶跃边缘结构的问题，基于该理论的全变差正则化建模一直以来被认为是图像几何先验建模的代表性方法。同时，针对全变差正则化模型不利于纹理等“振荡”结构保持以及容易出现“阶梯效应”等问题，研究者提出了大量推广模型及其应用方法。其建模方法一直不断改进和演化，在工程应用领域中基于全变差正则化的推广模型和算法也是层出不穷。图像先验的正则化建模的发展脉络可以大致归纳：由低阶微分向高阶微分推广，由整数阶微分向分数阶微分推广，由局部方法向非局部方法推广。然而，目前还没有专著对全变差正则化建模方法及其演化进行较为系统的总结。正是在这种背景下，本书作者深感有必要重新审视图像全变差建模理论及其推广方法，从数学理论基础、模型推广脉络和应用创新等方面对其进行系统性的总结。

近年来，在国家自然科学基金[ 61671243，61101198，61571230，61171165，91538108]、江苏省重点研发计划[ BE2018727]、江苏省自然科学基金[BK2012800，BK20161500]、中国博士后科学基金[ 2012M511281]、中央高校基本科研业务费专项资金[30918011104]和江苏省六大人才高峰和333工程等项目的资助下，南京理工大学理学院和南京理工大学计算机科学与工程学院的部分教师组成的数学、控制科学与工程、计算机科学与技术的跨学科科研团队，对图像处理的正则化图像建模的方法及其应用进行了较为系统的研究和探讨。本书所介绍的数学基础理论及基本算法，是课题组在多年研究过程中归纳总结的从事图像处理研究必须了解和掌握的基础知识；而全变差正则化及其推广模型的应用部分，是课题组近年来取得的部分研究成果的总结。在此由衷感谢长期参与课题组讨论班的老师和同学，特别感谢为本书提供了丰富研究成果的黄丽丽博士、王力谦博士、刘鹏飞博士和王凯博士。

本书共分为8章，前面4章主要介绍变分正则化图像复原的基础理论以及基本算法，是本书的理论与算法基础部分。其中：第1章介绍数字图像及图像处理的一些基本概念：第2章主要介绍图像复原的建模基础和常用方法：第3章首先介绍图像变分正则化的一些必要基础数学知识，然后总结了全变差正则化建模及其模型演化过程，其中包含了关于高阶全变差的分析以及分数阶全变差正则化的推广；第4章系统总结和介绍全变差正则化图像复原及其推广模型的经典优化方法，这些算法通常作为许多图像复原算法的基础算法而广泛使用。本书的后面4章，主要介绍全变差正则化及其推广模型在一些特殊图像复原问题中的应用。其中：第5章给出一些特殊噪声去噪以及图像复原的复合正则化方法；第6章重点介绍基于启发式模糊核估计的图像盲复原问题；第7章重点介绍高阶正则化图像复原方法：第8章重点介绍分数阶全变差正则化模型及其应用。

由于作者水平有限，书中不妥之处在所难免，恳请读者批评指正。