人工智能时代的到来，利用计算建模和仿真技术计算和解决工程与科学问题已成为主流，为了更好地设计算法和利用计算软件，需要研究人员和软件使用者对数学的了解比过去更多。在机器计算占据主导地位的时代，本书为研究生和研究生水平的工程师和科学工作者提供了所需的“必不可少的、根本的”数学基础。以教科书形式系统地、循序渐进地介绍数学知识，而不是只给研究生列出参考文献，这在研究生教学中值得推广。

本书适用于拥有工程学或物理科学专业的本科学位或广泛课程并希望加深对应用数学基本主题的理解的学生。书中介绍的方法构成了工程和物理科学分析的核心。读者将学习研究中需要的解决方案、技术和方法。例如，他们将能够了解用于解决技术问题的各种科学软件包背后的基础知识（例如，描述复杂结构的固体力学的方程式或短期天气预报和长期天气预报的流体力学方程式气候变化），这对于成功使用此类法规至关重要。详细而众多的工作问题有助于确保对应用数学进行清晰而有节奏的介绍。每章末尾的计算挑战性问题为学生提供了动手学习的机会，并有助于确保对概念的掌握。

目录<br /><br /><br />译者序<br /><br />前言<br /><br />致谢<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />第一部分线性代数<br /><br /><br />第1章线性代数与有限维向量空间2<br /><br />11矩阵回顾2<br /><br />12线性无关与线性相关3<br /><br />13张成和基9<br /><br />14分解向量空间为直和13<br /><br />15数量积16<br /><br />16正交性与格拉姆施密特正交化17<br /><br />17正交补24<br /><br />18基变换和正交矩阵29<br /><br />习题33<br /><br /><br /><br />第2章线性变换41<br /><br />21线性变换概念41<br /><br />22线性变换的基变换46<br /><br />23投影张量52<br /><br />24正交投影56<br /><br />25不变子空间61<br /><br />251零空间61<br /><br />252值域62<br /><br />253一维不变子空间66<br /><br />习题67<br /><br />第3章线性变换在方程组中的应用71<br /><br />31值域的正交补和零空间71<br /><br /><br />32弗雷德霍姆选择定理——<br />第一次审视74<br /><br />33当A的行列式为0时的<br /><br />“很好解”79<br /><br />331满足可解性条件79<br /><br />332不满足可解性条件80<br /><br />34正规方程82<br /><br />35广义逆——第一次审视85<br /><br />351与最小二乘数据拟合的<br /><br />关系88<br /><br />352应用：拟合橡胶的应力拉<br />伸数据89<br /><br />习题94<br /><br />第4章特征值的谱99<br /><br />41特征值和特征向量99<br /><br />42特征空间104<br /><br />421对角化105<br /><br />422应用：弹簧与质量网络的<br />振动108<br /><br />43长方形矩阵和奇异值113<br /><br />44弗雷德霍姆选择定理——<br />第二次审视118<br /><br />441弗雷德霍姆选择定理对<br />Rn→Rm的推广118<br /><br />442弗雷德霍姆选择定理与<br />奇异值的关系120<br /><br />45奇异值分解125<br /><br />46广义逆——第二次审视131<br /><br />461与长方形矩阵的奇异值分解<br />的关系133<br /><br /><br />462应用：滤除线性系统中<br />的噪声136<br /><br />关于线性代数的进一步阅读140<br /><br />习题141<br /><br />第二部分复变量<br /><br /><br /><br />第5章复变量的基本概念148<br /><br />51复数概述及其简要历史148<br /><br />52复数及其运算153<br /><br />53平面几何解释：z平面156<br /><br />54在复平面上的积分162<br /><br />55非平面几何解释：黎曼球面166<br /><br />56复分析中的点对代数172<br /><br />习题177<br /><br />第6章单复变量的解析函数181<br /><br />61一些标准复函数181<br /><br />62复函数映射——第一次审视186<br /><br />63解析函数192<br /><br />631导数193<br /><br />632柯西黎曼方程195<br /><br />64调和函数198<br /><br />65在流体力学中的应用：势流200<br /><br />651二维稳定流204<br /><br />652流场中的物体206<br /><br />66复函数映射——第二次审视：<br />施瓦茨克里斯托费尔变换208<br /><br />661作为坐标变换的映射208<br /><br />662开映射211<br /><br />663闭映射215<br /><br />664变换218<br /><br />习题225<br /><br />第7章柯西积分定理233<br /><br />71解析函数与非解析函数的<br />积分233<br /><br />711柯西古萨定理234<br /><br />712柯西古萨定理对于路径<br />积分计算的结果235<br /><br />72不定积分——原函数240<br /><br />73柯西积分公式245<br /><br />74解析函数导数的路径积分249<br /><br />75单位圆中的调和函数251<br /><br />76应用:拉普拉斯逆变换253<br /><br />77势流再论：流动流体所施加<br />的力259<br /><br />习题270<br /><br />第8章级数展开和路径积分278<br /><br />81泰勒级数278<br /><br />82洛朗级数282<br /><br />83留数和留数定理288<br /><br />84包围各种极点的路径积分293<br /><br />85可以计算实积分的复路径<br />积分299<br /><br />86分支和分支切割304<br /><br />861分支映射304<br /><br />862带分支的积分：椭圆积分311<br /><br />863带分支的积分：多项式、<br />对数和分数幂313<br /><br />864带分支的积分：拉普拉斯<br />逆变换317<br /><br />87路径积分的高级主题319<br /><br />871复傅里叶变换320<br /><br />872积分路径上的奇点：普莱<br />梅利公式322<br /><br />873解析延拓327<br /><br />关于复变量的进一步阅读333<br /><br />习题334<br /><br /><br />第三部分偏微分方程<br /><br /><br />第9章线性偏微分方程342<br /><br />91平衡和稳态343<br /><br />911变量分离、特征值和特征<br />函数348<br /><br />912带参数的边界值问题和<br />非平凡解349<br /><br />92时间相关过程的偏微分方程及<br />特征值的作用350<br /><br />93亥姆霍兹方程的特征函数和<br />特征值的性质356<br /><br />931瑞利商：特征函数和特<br />征值的结果357<br /><br />932正交函数集358<br /><br />933正交函数的完备集361<br /><br />94用瑞利商近似特征值362<br /><br />95非笛卡儿坐标下的变量分离368<br /><br />96稳态极限、瞬变衰减、无限域<br />和相似解375<br /><br />习题380<br /><br />第10章线性常微分方程387<br /><br />101线性常微分方程基本概念<br />回顾387<br /><br />102复平面上的微分方程391<br /><br />1021线性常微分方程的<br />泰勒展开解392<br /><br />1022线性常微分方程的弗罗贝<br />尼乌斯展开解397<br /><br />103特殊函数403<br /><br />1031贝塞尔函数408<br /><br />1032勒让德多项式416<br /><br />1033通常不作为特征函数出现<br />的特殊函数423<br /><br />104二阶常微分方程的施图姆<br />刘维尔公式428<br /><br />习题433<br /><br />第11章常微分方程的格林函数440<br /><br />111狄拉克函数δ（x-xo）441<br /><br />1111数学基础441<br /><br />1112狄拉克δ函数作为单位<br />脉冲446<br /><br />112格林函数450<br /><br />113线性微分算子的伴随456<br /><br />1131线性代数背景和类比457<br /><br />1132伴随的正式定义和一个<br />例子458<br /><br />114微分算子的弗雷德霍姆选择<br />定理460<br /><br />习题469<br /><br />第12章泊松方程和格林函数473<br /><br />121扩散过程:泊松方程474<br /><br />122拉普拉斯方程、泊松方程的<br />一般特征及其解476<br /><br />123泊松方程的格林函数487<br /><br />1231自由空间格林函数489<br /><br />1232有限和半无限域上的格林<br />函数491<br /><br />124半平面上的问题493<br /><br />1241源和汇的图像法494<br /><br />1242使用复分析的格林函数499<br /><br />125有限域上狄利克雷问题对称性<br />和叠加性的探讨502<br /><br />126正方形区域中的格林函数:<br />后拉和前推507<br /><br />习题511<br /><br />第13章格林函数和特征函数的组合<br />方法515<br /><br />131振动理论和简正模515<br /><br />132修正格林函数520<br /><br />1321无共振分量的共振强迫521<br /><br />1322应用:绷紧弦的强迫<br />谐振523<br /><br />133运用施图姆刘维尔公式528<br /><br />1331完备性529<br /><br />1332与激发（本源）物理模型<br />的数学联系529<br /><br />1333施图姆刘维尔算子的格林<br />函数531<br /><br />134施图姆刘维尔公式和弗雷<br />德霍姆选择定理535<br /><br />135复路径积分和特征函数展开<br />的更深联系540<br /><br />136偏微分方程的应用：一个<br />总结示例550<br /><br />关于偏微分方程以及更多主题的<br />进一步阅读556<br /><br />习题558<br /><br />参考文献562<br />