-一版再版，被美国大学广泛采用的参考书
-在数学学习的道路上走向“成熟”，弥合中学与大学数学学习的差距
-启发思维，拓展知识，有效引导，知识与方法深度结合
-向中学生和大本生提出明确、可行的学习建议

本书利用数学建模方法讨论了人类社会和自然界中的33个话题，既包括对经典话题的全新阐释，也包含对若干全新话题的开创性研究，不仅解答了大众对于数学的常见疑问：“数学有什么用？”，更是以高中知识为主要工具、以数学建模为主要载体、以中学生能够理解的方式，展现了数学研究的基本过程和思维方式。33个话题充分体现了数学与生活的密切联系，讲解了数学建模如何有效地解决跨学科问题，如何为生活中的现实需求建立合理有效的模型，如何在设计制造、生物医学、机器学习，甚至在解决社会问题方面大显身手。作者力求将抽象且严密的数学阐述得通透而有趣，凸显数学的“形式之美”“逻辑之妙”与“大道至简”。本书是为高中生、低年级本科生和爱好数学的大众读者开启的一场妙趣横生的数学思维之旅。

第 一部分  数学直觉的背景知识
第 1 章  数学思维 / 2
1.1  概念的形成 / 3
1.2  基模 / 4
1.3  一个例子 / 6
1.4  自然数学与形式数学 / 7
1.5  基于人类经验建立形式化概念 / 8
1.6  形式化系统和结构定理 / 10
1.7  更灵活地使用形式数学 / 10
1.8  习题 / 12
第 2 章  数系 / 15
2.1  自然数 / 15
2.2  分数 / 16
2.3  整数 / 17
2.4  有理数 / 18
2.5  实数 / 19
2.6  绘图的不准确性 / 22
2.7  实轴的理论模型 / 22
2.8  不同数的不同小数表示 / 25
2.9  有理数和无理数 / 25
2.10  实数的必要性 / 27
2.11  小数算术 / 28
2.12  序列 / 29
2.13  顺序性质和模 / 30
2.14  收敛 / 32
2.15  完备性 / 34
2.16  递减序列 / 36
2.17  同一实数的不同小数表示 / 36
2.18  有界集 / 39
2.19  习题 / 42
第二部分  形式化的开端
第3 章  集合 / 46
3.1  成员 / 47
3.2  子集 / 51
3.3  是否存在宇集 / 53
3.4  并集和交集 / 55
3.5  补集 / 62
3.6  集合的集合 / 64
3.7  习题 / 66
第4 章  关系 / 68
4.1  有序对 / 68
4.2  数学的准确性和人类的理解 / 71
4.3  将有序对概念化的其他方法 / 73
4.4  关系 / 76
4.5  等价关系 / 78
4.6  例子：模n 算术 / 82
4.7  等价关系的一些细节 / 85
4.8  顺序关系 / 86
4.9  习题 / 89
第5 章  函数 / 92
5.1  一些传统函数 / 92
5.2  函数的一般定义 / 93
5.3  函数的一般性质 / 97
5.4  函数的图像 / 100
5.5  函数的复合 / 105
5.6  反函数 / 107
5.7   / 111
5.8  序列和n 元组 / 112
5.9  多元函数 / 113
5.10  二元运算 / 113
5.11  集合的索引族 / 115
5.12  习题 / 116
第6 章  数理逻辑 / 119
6.1  陈述 / 120
6.2  谓词 / 121
6.3  所有和部分 / 123
6.4  多个量词 / 124
6.5  否定 / 126
6.6  逻辑语法：联结词 / 128
6.7  和集合论的联系 / 130
6.8  复合陈述公式 / 132
6.9  逻辑演绎 / 136
6.10  证明 / 138
6.11  习题 / 139
第7 章  数学证明 / 143
7.1  公理化系统 / 147
7.2  理解证明与自我解释 / 148
7.3  试题 / 149
7.4  习题 / 150
第三部分  公理化系统的发展
第8 章  自然数和数学归纳法 / 154
8.1  自然数 / 155
8.2  归纳定义 / 157
8.3  算术定律 / 160
8.4  自然数的顺序 / 166
8.5   0的专享性 / 168
8.6  计数 / 169
8.7  冯·诺伊曼的灵感 / 171
8.8  其他形式的归纳法 / 173
8.9  除法 / 175
8.10  因数分解 / 176
8.11  欧几里得算法 / 176
8.12  思考 / 179
8.13  习题 / 179
第9 章  实数 / 185
9.1  基本的算术结果 / 187
9.2  基本的顺序结果 / 190
9.3  构造整数 / 191
9.4  构造有理数 / 195
9.5  构造实数 / 196
9.6  有理数序列 / 197
9.7   上的顺序 / 203
9.8   的完备性 / 204
9.9  习题 / 206
第 10 章  作为完备有序域的实数 / 209
10.1  环和域的例子 / 210
10.2  有序环和有序域的例子 / 212
10.3  回顾同构 / 214
10.4  一些特征 / 216
10.5  和直觉概念间的联系 / 222
10.6  习题 / 223
第 11 章  复数以及后续数系 / 225
11.1  历史背景 / 225
11.2  构造复数 / 228
11.3  复共轭 / 230
11.4  模 / 231
11.5  欧拉的指数函数方法 / 234
11.6  余弦和正弦的加法公式 / 236
11.7  复指数函数 / 24
11.8  四元数 / 243
11.9  形式数学方法的转变 / 248
11.10  习题 / 248
第四部分  使用公理化系统
第 12 章  公理化系统、结构定理和灵活思考 / 252
12.1  结构定理 / 255
12.2  不同数学思维方法的心理学解释 / 257
12.3  构建形式化理论 / 260
12.4  后续发展 / 268
12.5  习题 / 269
第 13 章  置换和群 / 271
13.1  置换 / 271
13.2  作为循环的置换 / 274
13.3  置换的群性质 / 275
13.4  群的公理 / 278
13.5  子群 / 282
13.6  同构和同态 / 285
13.7  划分群来得到商群 / 287
13.8  群和子群的元素数量 / 290
13.9  定义群结构的划分 / 291
13.10  群同态的结构 / 295
13.11  群结构 / 297
13.12  群论在数学中的主要贡献 / 298
13.13  后续发展 / 302
13.14  习题 / 304
第 14 章  基数 / 307
14.1  康托尔的基数 / 310
14.2  施罗德- 伯恩斯坦定理 / 316
14.3  基数的算术 / 319
14.4  基数的顺序关系 / 323
14.5  习题 / 324
第 15 章  无穷小量 / 327
15.1  比实数更大的有序域 / 329
15.2  超有序域 / 332
15.3  超有序域的结构定理 / 332
15.4  在几何数轴上表示无穷小量 / 334
15.5  放大到更高维度 / 340
15.6  无穷小量的微积分 / 341
15.7  非标准分析 / 342
15.8  非标准分析的奇妙可能性 / 349
15.9  习题 / 352
第五部分  强化基础
第 16 章  集合论公理 / 356
16.1  一些困境 / 356
16.2  集合和类 / 357
16.3  集合论公理概述 / 358
16.4  选择公理 / 360
16.5  一致性 / 361
16.6  习题 / 363
附录  如何阅读证明：“自我解释”方法 / 364
如何自我解释 / 364
自我解释的例子 / 365
自我解释和其他方法的对比 / 365
练习证明1 / 366
练习证明2 / 366
记住…… / 367
参考文献 / 368