本书书是一部以应用为目的的现代数学著作，介绍了集合、拓扑、群、微分几何、非线性方程等现代数学的基础理论，并讨论了它们在现代物理学与天体物理学中的应用，特别是群在规范理论、同伦论在宇宙拓扑缺陷、非线性方程在宇宙学中的应用。本书适合应用数学理论研究者。

本书是一部以应用为目的的现代数学著作，介绍了集合、拓扑、群、微分几何、非线性方程等现代数学的基础理论，并讨论了它们在现代物理学与天体物理学中的应用，特别是群在规范理论、同伦论在宇宙拓扑缺陷、非线性方程在宇宙学中的应用。其中含有作者在拓扑缺陷、宇宙动力学方面的工作。

本书首先介绍了集合、拓扑及分形的基础内容，以及这些数学概念的一些应用；其次讲述了有限群和李群在规范理论与相对论中的应用；再次介绍了微分流形、微分同胚、霍奇(Hodge)算子、同调群和同伦群，及它们在电磁场理论和天体物理中的应用；最后讨论了物理学、力学、地球科学、生命科学及各类工程技术领域中会遇到的各种各样的非线性方程，并讨论了在宇宙动力学中的应用。

本书主要适合数学、物理、天文和力学方面的研究生和科研人员阅读。

第1章 集合与拓扑

 §1.1 集合的基本概念

 §1.2 映射

 §1.3 拓扑空间

 §1.4 分形

 §1.5 *局中人集合

 §1.6 *阿罗不可能性定理

第2章 群论与对称性

 §2.1 群论的基本概念

 §2.2 群的表示

 §2.3 连续群和李群

 §2.4 规范不变性

 §2.5 对称性自发破缺

 §2.6 SU(5)大统

 §2.7 SO(10)大统

第3章 微分几何

 §3.1 微分流形

 §3.2 微分形式

 §3.3 同伦与同调

 §3.4 纤维丛

 §3.5 *拓扑缺陷

 §3.6 *群流形的同伦群

第4章 非线性方程

 §4.1 非线性偏微分方程

 §4.2 孤立子

 §4.3 反散射方法及一些变换法

 §4.4 非线性薛定谔方程

 §4.5 自治系统

 §4.6 临界点

 §4.7 宇宙动力学