不解题、不计算+一把剪刀、一个信封＝最有趣的学习体验；

海阔天空的数学谜题-循规蹈矩的思维过程＝最开阔眼界的数学盛宴；

风趣的语言×搞笑的漫画＝最愉悦的阅读感受；

复杂的问题÷简单的解法＝最富挑战的思考力、创造力的训练。

让孩子爱上数学，让你爱上这蕴藏着无数数学谜题的精彩生活！

在一个有50人参加的小型婚礼上，要找出同一天过生日的两个人，概率有多大？

足球场的边线长100米，而球场管理员买了101长的彩带。他将彩带系紧在两端的角旗上，如果把彩带从中间举起来，高度足够让球员们入场吗？

看似公平的“硬币抛投游戏”实际上可以让你胜率大增，你相信吗？

多少只袜子配成一对？答案不一定总是2，你同意吗？

这些问题背后的数学原理。令人既觉得惊奇，又觉得有趣；甚至还能感受到数学的美。

本书是一本引人入胜且令人耳目一新的数学书，包含许许多多你希望自行验证的数学理论，适合于每一个人。如果你本来就喜欢数学，你会发现大量新的惊奇；而如果你天生就讨厌数学，本书将彻底改变你对这一学科的看法。

致谢

前言

第1章 我不相信

 离镜子越远，看到的会越多吗

 生日巧合问题

 足球场彩带问题

 报纸上的数据有规律吗

第2章 不用计算器来计算

 制作你的乘法表

 速算乘法

 心算平方

第3章 任选一张扑克牌

 翻页洗牌法

 魔法洗牌法

 A牌奇迹

 “Snap!”和其他随机游戏

 违背概率的绝技

第4章 给我一个纸信封

 折纸的艺术与科学

 有趣的纸带扭转

 折出个金字塔

第5章 熊是什么颜色

 熊的颜色

 大灰狼先生的钟

 修道士同一个时刻经过同一个地方吗

 一根细绳算时间

 黑帽与白帽

 父亲在哪里

第6章 正面还是反面

 即使硬币是随机的，人也不是随机的

 Penney Ante游戏

 抛投多枚硬币和帕斯卡三角形

第7章 回文和其他美丽图案

 是否每个数字都可以构成回文数

 三个神秘数字

第8章 数独游戏和其他魔方阵

 数独

 4×4魔方阵

 终级4×4对称方阵

第9章 让我们走捷径

 苍蝇飞了多远

 淘汰赛场次和掰巧克力块

 图图国王和男孩数量

 蚂蚁多久会掉下

第10章 寻找三角形的中心

 直角三角形

 将三角形等分

 黄金三角形

第11章 五行打油诗、斐波那契和数字5

 斐波那契数列

 卢卡斯数列

 黄金比率

 揭秘达·芬奇密码

 Dee dum dee dee dum

第12章 超越无穷

 芝诺悖论

 堆垛书本

 有争议的无穷和

 超越无穷

第1章 我不相信

你需要：一面浴室镜、一张报纸、

一群人以及一些想象。有人称之为常识，也有人称之为直觉，或者干脆称为之“有预感”。不管你怎样称呼，每个人或多或少都有自己的直觉。直觉就是那些帮助我们无需花太多时间去研究事物，从而直观地理解这个世界的那些东西。大多数时候，我们的直觉非常有用。但是，另一种现象是数学家和科学家们非常喜欢的，他们称之为“反直觉”。我必须承认，我本人最喜欢的，就是数学中那些“反直觉”的内容，尤其是那些似乎与我们的生活经验背道而驰的例子。

在开篇的第一章，我想集中讲述四个我一直最喜欢的反直觉例子，每一个都会让你从不敢相信，到惊讶万分，最后开怀大笑。

让我们看看你的直觉是怎样冒出来的吧。

离镜子越远，看到的会越多吗

假设一天早晨，你站在浴室镜前洗漱，正在抬眼看着镜中的自己。你会发现，自己紧靠洗脸盆而立，能够看到整个上半身，也就是说你可以看到的自己身体的最下部位是肚脐眼。

现在，你开始退后。在你后退时，你能够看到：

(a)比之前更少的身体部位

(b)与之前完全相同的身体部位

(c)比之前更多的身体部位

请思考片刻。你也许曾在镜子前审视过自己几千次，答案应当足够明显。

你是否认为(c)是正确答案，认为你在镜子前朝后退时，可以看到自己更多的身体部位？大多数人会这样认为。这似乎是合理的，毕竟，当你在商店中试穿新衣服的时候，退后几步，获得更佳的视角是再正常不过的事。

然而，这个答案并不正确。

第二个被大多数人认同的答案是(a)。因为你远离镜子时，你的图像变得更小，因此，从那种感觉而言，你看到的是自己更少的身体部位，但是，这并没有回答“你是否能够看到肚脐眼以上部位还是以下部位”这个问题。

事实上，(a)也是错误的。正确答案是(b)——从镜子前退后几步，你能看到的身体部位不会增多，也不会减少。对多数人而言，这一答案不可思议。事实上，这一答案一经说出，任何人都有可能立即起身，到浴室镜子前看个究竟。你现在可能也产生了那样的想法。

严格说来，(b)答案只有符合以下两个条件才可说是正确的，其一，镜子必须是垂直的，其二，地板必须是水平的(大多数镜子和地板确实符合这两点，但不是商店里倾斜的镜子)。当然，你绝不能在靠近镜子的时候弯腰趴在上面(我听说有一些反对者趴在洗脸台上，大声抗议说，我现在都能看到脚趾了)。

这个关于镜子的问题，就是一个反直觉的鲜活例子。我们所有的常识都指向同一个方向，然而在这一例子中，这个方向是错的。你想返回到镜子前看个究竟的这种惊奇的感觉，正是在数学世界里可以经常发现的。亲身体验了之后，大多数人不再怀疑。但另一些人，也许就包括你，脑海里还有一个问题：为什么？而当你发问的时候，你就真正在接触数学。

在镜子的示例中，这个“为什么”是极易解释的。在镜子前，你看到的东西是光线从你的身体周围穿过去，在镜子上反射回来的图像。下面是一个简图，描述你照镜子时的情形。

假设你的眼睛高出镜子的底边30厘米。如果你站直了，这意味着你可以从中看到的身体部位，也就是在镜子底边30厘米以下的部位(这是因为光线以同一个角度反射回来)。当你从镜子前退后时，你的眼睛仍然高出镜子底边30厘米，那是不会变化的。因此，无论你前进或后退，你总是看到自己肚脐眼左右的部位。

这就是以一种极为通俗的方法对镜子问题进行的数学论证。也许没有令你信服，也许你对此不感兴趣，甚至还似乎觉得有违你的直觉，但事实确实就是这样。你可以试几次，也可以讨论讨论。对我来说，这就是最好的数学。

P15-19

多少只袜子可以配成一双？

答案不总是2。至少，在我家里不是2。为什么？因为我能确定，在一个漆黑的冬日凌晨，当我伸手到装着一堆黑色与蓝色袜子的抽屉，从中拿出两只时，却总是配不成一双(颜色总是不相同)。

尽管我的手气不是很好，但总算有个好消息：如果我从抽屉里拿出3只袜子，就保证可以配成一双了。也许会有两只黑色的或者两只蓝色的，再加上另外一只，结果逃不出这两种情况。因此，借助数学的力量，我只需一只多余的袜子，便可克服墨菲定律。多少只袜子可以配成一双？如果你想更确定的话，那么答案是3。

当然，也只有两种颜色的袜子时，那一答案才是正确的。

如果抽屉里有3种颜色的袜子——例如，蓝色、黑色和白色——你需要取出4只才能确保配成一双。10种颜色，就必须取出11只。用数学简式表示的话，如果你有N种颜色的袜子，就必须取出N+1只来，才能确保可以配成一双(N会让许多不喜欢数学的人感到厌烦，因此，我保证在本书中不再提“N”)。

我喜欢这道关于袜子的趣味题，因为这既实用又常见，其中还不乏能够激发想象力的有趣数学理论，而这类数学理论超越了1+1必定等于2的现实(但却相当乏味的)世界。它属于一个出乎意料的有趣数学世界，甚至是那些曾发誓不接触任何与数学有关的事物的人，也会备受吸引。

本书涉及的数学理论会给所有人带来乐趣。写作的灵感源于我曾接到的一个电话，电话是从一家国家级报纸《泰晤士报》(The Times)打来的。该社的文学编辑艾丽卡·瓦格纳想了解更多关于数学的东西，她认为也许能从我这里获得一些帮助。

每次和朋友交谈，艾丽卡的好奇心就会增加一分，因为有些朋友似乎对数学有着令人不解的热情。她曾听到数学家们用“高雅”和“美”等词语形容他们的课题，而这些语句通常是用来形容诗歌或艺术作品的，但……数学会是这样的吗？艾丽卡无法理解，更糟的是，每次那些朋友对她解释后，她还是不能理解。没有什么论据可以证明数学是美的，因为它就是美的。

我所做的介绍听起来够简单吧。一堂3小时的辅导课，便可演示什么是“可以用美来形容的数学”。然而，我想得越多，挑战似乎越大。代数？几何？微积分？对大多数人而言，光是这_二个词汇所激起的情绪，全都是害怕、恶心，甚至连看都不想看一眼的厌倦，有时候更是三种情绪全有(这种反应通常可追溯到在校读书时的那段可怕经历，大约在12岁到16岁期间)。

数学通常能使聪明人感到自己愚蠢，甚至有点气急败坏。听一位数学家阐述某一现象，听众往往会在心底暗想：“你知道，我也认为这应该是显而易见的，但我就是无法理解。”或者，“刚刚，我脑海中一闪即过的念头是……谁在乎呢？”

因此，我们遇到自己的数学老师时，根本不讨论数学。我们聊扑克小魔术、测心术(译者注：吉普赛人祖传的神奇测心术，能测算出人的内心感应)、五行打油诗，以及一些不知从哪里冒出来，但可以在计算器中显示的奇特图形。

实际上，我们说不讨论数学，是在自欺欺人，因为我们聊的所有事情，都与数学有着直接关联，而我们只是避免说“数学”这个词。数学的最大问题恰好在于这个词本身，它带有太多的负面内涵，以至于，只要某事一涉及到数学，哪怕是一点点迹象，也足以令许多聪明人退避三舍。

2006年，我与艾丽卡见面了，我们只简短地交谈了一会儿，但这次见面使我萌生一个想法，那就是写这本书。两年后，我终于如愿。这本书，是我对以下这个古老问题的回答，只是略有些长：“难道数学真的那么有趣、那么富有创造力，而且那么美吗？”

在写作中，我清醒地意识到，美其实是非常主观的东西。仅仅是因为我觉得很多东西有趣、富有创造性或者美，并不能确信你也会有同样的感受。事实上，我只能确信一件事情，那就是，不管你的数学功底如何，面对书中的某些内容，你都有可能会产生两种想法(我无法理解或者谁在乎呢)，说实话，我希望你不会产生这些想法。

如果你确实产生了那些想法，请跳过那部分内容，并且告诉自己：那不是我的错，是作者的错。在这里，我希望我们的心灵是相通的，你会发现自己以前从未发现的数学的另一面。

本书为那些认为自己不是数学家的人而写，在写作过程中，我知道自己经常犯一些过于简化、不够严谨的错误，而且常常会在读者觉得数学确实有趣的时候戛然而止。那正是我要向数学家们表达的小小歉意，以示我对哈代的《一个数学家的辩白》(A Mathematician's Apology)一书的崇高敬意。

由于我在本书中使用了“创造性”一词定义某些数学现象，我最好是说明一下我想用这个词表达何种意思。20世纪60年代，亚瑟·科斯特勒写了一本名为《创造的行为》(The Act of Creation)的书，在书中，他试图解释什么是创造，以及它是怎样产生的，他认为，创造的过程以三种方式表现自己：

美

发现

和幽默

后来，一些佚名的智者以一种风趣的方式将这三个特点总结为：

啊

啊哈

和哈哈

本书就是关于数学的啊、啊哈和哈哈。