本书着重阐明微积分中的各主要问题、基本思想，包括实数理论，极限论、连续性概念、微积分主题浅释、微商与微分、黎曼积分及其推广、函数级数、非标准分析大意、数学研究中的创造性思维规律、数学科学与现代文明等。

微积分大意／l

引言／1

一、实数理论／7

1.从有理数集谈起／7

2.戴德金分划／8

3.实数系的序结构／10

4.确界存在定理／11

5.√2·√3＝√6的证明／12

6.实数系的戴德金性质／14

二、极限论／16

1.关于序列极限／16

2.柯西收敛准则／18

3.一元函数／20

4.函数极限概念／21

三、连续性概念／23

1.连续性概念／23

2.一点处的连续性／24

3.复合函数的连续性／24

4.三个基本命题／26

5.连续模数／26

6.一致连续性定理／27

四、微积分主题浅释／29

1.主题简释／29

2.柯西的积分概念／3I

3.积分中值定理／33 4.积分学基本定理／33

5.微分中值定理／35

五、微商与微分／37

1.微分与导数的关系／37

2.多元函数／38

3.连续映射／40

4.可微映射／40

5.泰勒展开定理／42

6.多元泰勒公式／44

六、黎曼积分及其推广／46

1.闭区间与开集／46

2.有界函数的黎曼积分／47

3.黎曼可积的充要条件／49

4.开集上的黎曼积分／5l

5.黎曼积分的一个推广／52

6.有界变差函数的积分／54

7.广义积分／55

七、函数级数／57

1.阿贝尔的反例／57

2.一致收敛性概念／59

3.连续函数的级数连续性定理／60

4.逐项积分定理／61

5.逐项求导定理／62

6.级数连续性的充要条件／63

八、非标准分析大意／65

1.一点历史回顾／65

2.非标准分析的特点／67

3.关于*R的高桥模型／67

4.超滤集的存在性／69

5.超滤集的作用／72

6.等价性概念与超幂*R／73

7.三分律及其验证／73

8.作为有序域的*R／74

9.*R中的非标准实数／75

10.有限数的结构定理／76

11.有限数的标准部分／77

12.牛顿“流数术”的重新解释／78

13.扩张与对应置换／78

14.微商概念／80

15.等和原理／80

16.积分概念及积分学基本定理／81

数学研究中的创造性思维规律／85

一、数学研究的目的／85

二、数学中的发现和发明／86

三、庞加莱的发明心理学／88

四、数学创造的一般心智过程／90

五、关于数学抽象的几个基本法则／91

数学科学与现代文明／97

一、引言／97

二、数学科学与近现代科学技术的发展／100

三、数学科学与文化素质教育／105

四、数学科学与科学宇宙观的演变／110

五、数学科学与头脑编程／115

六、数学科学与美学原则／118

科学文化人与审美意识／127

一、开场白——题目的来源／127

二、科学文化人的一般含义／128

三、审美意识的重要性／129

四、创造能力与审美意识／13l

五、培育审美意识的途径之——发挥数学的美育功能／133

六、培育审美意识的最佳途径——文理结合与文理渗透／135

七、审美意识与德、智、体的关系／137

附录／141

数学家徐利治传记／141

徐利治学术年表／155