本书主要介绍了牛顿万有引力理论产生的历史过程，也说明了时代要求一种高级的新数学。微积分的出现正是应运而生。同时详细介绍了牛顿和与他同时代的大科学家，如莱布尼茨、惠更斯怎样展开对微积分的基本思想和基本方法的研究，简略说明了微积分的严格化产生的背景，并介绍了一种万有引力理论推导的初等的新方法。

数学文化小丛书精选对人类文明发展起过重要作用、在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面有某种里程碑意义的主题，深入浅出地介绍数学文化的丰富内涵、数学发展史中的一些重要篇章以及一些著名数学家的历史功绩和优秀品质等内容，适于包括中学生在内的读者阅读。

一、引子

二、牛顿的生平

三、牛顿和微积分

 切线问题

 极大极小问题

数苑漫游(一)椭圆

积分学与微积分的基本定理

数苑漫游(二)牛顿与亿

 微积分的严格性问题

四、万有引力的发现与证明

数苑漫游(三)苹果和月亮

数苑漫游(四)用一点向量

附录 由万有引力定律到开普勒第一定律

五、结束语

牛顿(Isaac Newton)于1643年1月4日生于林肯郡(Lincolnshire)格兰瑟姆(Grantham)附近的伍尔索普庄园(Woolsthorpe Manor)。他是遗腹子，父亲也叫Isaac Newton。三岁时，牛顿的母亲改嫁了，牛顿就和外婆生活在伍尔索普庄园。不几年后，继父也去世了，母亲就带着后夫的三个孩子，回到伍尔索普庄园，一大家人住在一起。在当时，这个家庭应该算是殷实之家了。然而牛顿的生活是孤独的，如孤儿一般。这与牛顿后来孱弱的身体和内向孤僻的性格有很大关系。这个家庭当然完全谈不上对牛顿的教育，母亲对他的希望也只是做一个富裕的农民而已。所以要想从她手上抠出读书的钱并非易事。但牛顿在中学毕业以后却是一心想要进大学，虽然没有任何资料说明牛顿已经表现出过人的才智。这时，牛顿的舅舅支持了牛顿，所以才进了剑桥大学三一学院(Trinity College)，时为1661年6月，也就是康熙皇帝继位前一年。把科学史上的年代与我国历史大事的编年做一个对照是很有趣的事。这样，我们就可以更真切地体会到，我国在科学上是怎样落后下来的。

现在关于牛顿在剑桥大学学习的情况所知不多。可以肯定的是，当时的剑桥大学是由亚里士多德的学说统治的。但是，剑桥大学有一个很大的图书馆，牛顿也有充分的余暇，他特别专注攻读笛卡儿、伽桑地(Pierre Gassendi，1592—1645，法国哲学家与天文学家)、霍布士(Thomas Hobbes，1588—1679，著名的英国哲学家，唯物论机械论者)、玻意耳等人的著作。这些学者共同的特点是主张机械论。这对于牛顿后来的哲学立场自然有深刻的影响。也正是从这种机械论的立场出发，牛顿完全接受了哥白尼、开普勒和伽利略关于太阳系的日心说理论。他仔细地分析过这些伟大先行者的著作，包括他们的数据和各种结论。他几乎读遍了剑桥大学三一学院图书馆中的全部伽利略的著作。但是，那里可找不到伽利略的两本最基本的著作，即《两大世界体系》和《两门新科学》。因为剑桥大学三一学院图书馆的负责人仍然感到收藏这两本禁书要冒很大的风险。天主教教义对当时人们的思想统治之严酷，不是我们今天可以想象得到的。关于牛顿在哲学方面所受到的影响，还有另一方面。当时剑桥大学最著名的哲学家亨利·摩尔(Henry More，1614—1687)属于所谓新柏拉图主义，他们一方面承认有一个机械论性质的宇宙，但是上帝是存在的，他通过一种“自然的精神(spirit ofNature)”控制着机械论性质的宇宙。这一点对于牛顿似乎也是有影响的，而且亨利·摩尔恰好代表这种思想的神秘的通神的(theosophic)一面。

牛顿在什么时候开始对数学有了特别的兴趣，现在可考的事实不多。除了知道他认真研读过欧几里得等希腊数学家以及笛卡儿等人的著作外，还有一点可以肯定，就是巴罗(Isaac Barrow，1630—1677)对他的影响。巴罗既是数学家，也是神学家。而且1663年起担任三一学院的卢卡斯讲座教授(LucasianProfessor)，这个讲座是由亨利·卢卡斯(Heary Lucas)于1663年捐资建立的。巴罗是第一任卢卡斯讲座教授。继任者就是牛顿。由于继任者中很多是深刻影响甚至决定一个时代数学和物理学f准确些说是数学物理学(mathematical physics))的发展的重要科学家，所以现在卢卡斯讲座教授就成了一个威望极高的学术职位。巴罗在三一学院曾经作过一系列讲演(1664—1669)，后来编辑成为三本书《光学讲义》(Lectiones Optiae,1669)，《几何学讲义》(LectionesGeometricae，1670)和《数学讲义》(Lectiones Mathematicae，1683)。巴罗本人并没有自己编书，而是由牛顿等人编撰发表的。毫无疑问的是，巴罗的意图是想决定数学在三一学院的发展方向，因此，这几本书内容都是有关那个时代数学物理学的最重要的问题。例如在《几何学讲义》里就包含了切线问题，这是当时数学发展的关键问题。切线的研究，既得到当时巴罗本人的关注，又是伽利略和他的学生们如托里拆利等人研究的继续，也是后来牛顿的研究的起点。当然牛顿也用了很大精力来研究诸如瓦里斯(Johll Wallis，1616—1703，对于微积分的建立有独创贡献的英国数学家)、詹姆斯·格里高利(JamesGregory，1638—1675，苏格兰数学家，他关于无穷级数的研究对于微积分的建立，对于牛顿的研究有着特别重要的影响)等人的数学著作。从以上的叙述中可以明显地看到，牛顿在剑桥大学三一学院的这几年，在科学思想、科学方法和数学物理方面都已经融人当时科学发展的主流。他的世界观也成为宗教神学和机械论的混合物。

牛顿在三一学院这种学术氛围中，真是如鱼得水。他如饥似渴地吸收着科学知识的营养，浸润在科学精神的熏陶中。关于他的工作的一个突出的例证，是他那几年留下的《哲学笔记簿》。他一到剑桥大学，就买了一本笔记簿，记录各种事情和自己的读书心得等，而关于哲学的这一部分是最重要的，所以时常被称为《哲学笔记簿》。他为这一部分题写的标题是Quaestiones Quaedam Philosophicae(若干哲学问题)，一开始就是牛顿自己写的一段话：柏拉图是我的朋友，亚里士多德也是我的朋友，但是我最好的朋友是真理。笔记簿里记录了许多问题，而且有一些还附有牛顿的说明、批注甚至是小文章。例如有“水与盐的本质”，“磁的吸引力”，“太阳、恒星、行星与彗星的本质”，“浮力与重力的本质”，等等。这些问题一定程度上表现了牛顿后来的研究方向。笔记簿里还不时记载着对于亨利·摩尔的崇敬和他对一些问题的看法。

到了1665年，发生了一件大事。一场大瘟疫在英国爆发了。牛顿回到伍尔索普庄园逃避瘟疫。他在这里住了18个月才又回到三一学院。可是，这18个月对于牛顿的一生具有特殊的意义。有一段被广泛引用的据说是牛顿的话(作者未能找到正式的出处，下面只好据其他文献改写)：“1665年初得到二项级数。5月重新发现了格列高利和斯鲁斯fRen6Francois sluse，1622—1685，比利时数学家)作切线的方法(即微分法)。11月，提出流数法(即微分法)。1666年1月，发现色彩的理论。5月开始研究反流数法(即积分法)。同年开始研究月球运行问题。根据开普勒第三定律，推论出太阳对行星的引力，应该与距离的平方成反比。比较维持月球在轨道上所需的力与物体在地面上所受的重力，发现二者非常接近。实际上这就是万有引力定律。”著名的关于苹果的故事就发生在这个时期。其实在这短短的岁月中(他自己说是他的黄金岁月)，他完成的远不止此。例如他关于算法的思想是十分深刻的，直到今天仍不失其意义。可以说，除了莱布尼茨及其追随者的贡献以外，当时关于微积分的成就都已被牛顿吸收。牛顿对于光学的伟大贡献，也是从这时开始的。图2中的那些纪念邮票，其实，都是从这个时期开始的伟大业绩。

P4-8

整个数学的发展史是和人类物质文明和精神文明的发展史交融在一起的。数学不仅是一种精确的语言和工具，不仅是一门博大精深并应用广泛的科学，而且更是一种先进的文化。它在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的一个重要支柱。

要学好数学，不等于拼命做习题、背公式，而是要着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在人类文明发展中所起的关键作用，自觉地接受数学文化的熏陶。只有这样，才能从根本上体现素质教育的要求，并为全民族思想文化素质的提高夯实基础。

鉴于目前充分认识到这一点的人还不多，更远未引起各方面足够的重视，很有必要在较大的范围内大力进行宣传、引导工作。本丛书正是在这样的背景下，本着弘扬和普及数学文化的宗旨而编辑出版的。

为了使包括中学生在内的广大读者都能有所收益，本丛书将着力精选那些对人类文明的发展起过重要作用、在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面有某种里程碑意义的主题，由学有专长的学者执笔，抓住主要的线索和本质的内容，由浅入深并简明生动地向读者介绍数学文化的丰富内涵、数学文化史诗中一些重要的篇章以及古今中外一些著名数学家的优秀品质及历史功绩等内容。每个专题篇幅不长，并相对独立，以易于阅读、便于携带且尽可能降低书价为原则，有的专题单独成册，有些专题则联合成册。

希望广大读者能通过阅读这套丛书，走近数学、品味数学和理解数学，充分感受数学文化的魅力和作用，进一步打开视野，启迪心智，在今后的学习与工作中取得更出色的成绩。

李大潜

2005年12月

在上一本书里讲到人类是如何发现太阳系的唯象定律——开普勒三定律——的。这里面用了一些初等数学——欧几里得几何，但是我们已经看到这是不够的。在这本书里，“上帝”正如拉普拉斯所说，成了一个人们并不需要的假设。以微积分为代表，新数学成了人类的有力武器。用这种新武器武装起来的人类在牛顿至今的三百年间胜利前进的过程，读者们多少是知道一点的。

但是对于浩瀚的星空，人类会只满足远远的看一下吗？从遥望星空到太空遨游，空间时代来临了。而这里需要的数学知识就更深刻了。如果有可能，应该再把这里的故事讲下去。