数列是重要的数学内容，数学归纳法是重要的数学方法。它们是离散与连续间的纽带，初等与高等间的桥梁。希望通过对它们的介绍，能使读者了解数学，感受数学，进而喜爱数学，发现数学。

本书共有十讲。前六讲大致在中学课程的内容上略作延伸，可用作高考的准备。后四讲为课外内容，可用以应对竞赛。但本书决不只是为了考试、竞赛而写，我们的目的是普及数学，传播数学。

数学是思维的科学。因此本书的重点放在培养思维能力上，希望和广大读者一同来学数学、做数学。由简单、具体的例子入手，发现或猜出结果，并进而用严谨的推理证明或推翻自己的猜想。为了做数学，书中提供了大量的习题，供读者选用。习题均有我们所拟的解答，供作参考。

阅读能力也很重要。因此，除了正文之外，本书还拟了4篇阅读材料，供读者选读。

前言

第一讲 数到／1

 §1.1 数列的定义／1

 §1.2 通项与递推关系／5

 §1.3 数列的性质／11

第二讲 等差数列／18

 §2.1 定义与通项／18

 §2.2 前n项的和／25

第三讲 等比数列／31

 §3.1 定义与通项／31

 §3.2 前n项的和／38

 §3.3 无穷递缩等比数列／43

第四讲 数列的和／50

 阅读材料 前n个自然数的幂和／57

第五讲 数学归纳法／61

 §5.1 归纳与演绎／61

 §5.2 归纳法的应用／67

 §5.3 归纳法的其他形式／73

 阅读材料 无穷递降法／82

 §5.4 数列与归纳法／86

 §5.5 不等式与归纳法／93

 阅读材料 平均值不等式／104

第六讲 数列问题举隅(一)／111

第七讲 高阶等差数列／131

 §7.1 高阶等差数列的通项／131

 §7.2 高阶等差数列的和／137

 阅读材料 差分算子△／142

第八讲 递推数列／146

 §8.1 递推数列／146

 §8.2 斐波那契数列／153

 §8.3 线性递推数列／161

 §8.4 周期数列／171

第九讲 数列问题举隅(二)／181

第十讲 数学归纳法的应用／200

 §10.1 数论中的归纳法／200

 §10.2 组合数学中的归纳法／208

 §10.3 图论中的归纳法／217

参考答案及提示／229