一道奔腾流淌的数学长河滚滚而来：就规模而言，她涉及从上古时代到19世纪两千多年，整个数学领域中主要数学概念的发展，结构宏大紧密；就细节而言，她让我们与牛顿、高斯这些巨人进行亲密接触，将代数、几何、算术、三角学的发展脉络娓娓道来。

这虽是众多有关数学史著作中的一部，但她也是魅力独特的一部。就规模而言，她涉及从上古代到19世纪两千多年整个数学领域中主要数学概念的发展，结构宏大紧密；就细节而言，她让我们与牛顿、高斯这些巨人进行亲密接触，将代数、几何、算术、三角学的发展脉络娓娓道来。 不管你对她如何熟悉，也不管你对她如何无知，你总是无法拒绝她的诱惑，因为她，就是奔腾流淌的数学长河。

前言

作者序

第一章 上古时代的数学

第二章 希腊数学的起源

第三章 三角学的发明

第四章 亚历山大科学的衰微——黑暗时期与复兴

第五章 东方的数学

第六章 文艺复兴时期的数学：从雷乔蒙塔努斯到笛卡儿

第七章 17世纪：几何学的新方法

第八章 力学的兴起

第九章 小数和对数的发明

第十章 微积分的发明

第十一章 二项式定理和《自然哲学的数学原理》

第十二章 分析方法的发展

第十三章 从欧勒到拉格朗日

第十四章 近代几何之开端

第十五章 算术——数学中的女王

附录一 书中所提人物的小传

附录二 对书中提到的某些论题的简短注释

参考书目

人名译名对照表

地名译名对照表

后记

这些从古代文化中发展起来的技术，和它们所累积的巨大知识宝库，将永远引起人们的赞叹和惊奇。但是我们找不出什么证据来证明它们是沿着科学化的道路发展的。它们所获得的法则，大都是经验性的，充其量也不过是少数简单事例的推广。知识就是力量。只是由于需要的驱使，人们才去追求知识。巴比伦的天文学尤其如此，它是从来也离不开神话和魔术的。为了知识本身而去追求知识的概念，对于巴比伦人和埃及人说来，是完全不适合的，这要一直等到希腊人来进行。真正科学的起源不是在巴比伦，也不是在埃及，而是在爱琴海的爱奥尼亚海岸一个小小的希腊殖民地上发现的。尽管如此，古代文化对希腊的影响很大，希腊人从古代文化中继承了原始资料。“希腊科学的奇迹”是由巴比伦人和埃及人预先准备好了的。

希腊人在数学方面比在任何其他学科有着更惊人的进步。他们不仅在数学的各个部分中作出了显著的、不朽的贡献，而且还为它们以后的发展奠定了永久的基础。我们转向希腊人，乃是为了寻找严格演绎证明的概念，亦即寻找在定义、公理和公设的基础上通过一系列定理来发展一门学科，以及不断争取全面推广和抽象的方法。

在希腊数学史中有三个时期：

1.毕达哥拉斯学派时期。

2.柏拉图和柏拉图学园时期。

3.亚历山大学派时期。

但是在此以前，大约在公元前6世纪，在爱琴海沿岸已经略见端倪。这些新学问的先驱者是米利都的泰利斯，阿那克西米尼和阿那克萨哥拉。泰利斯曾周游各地，在他访问埃及期间学到了已经在那里实施着的土地测量的经验法则。

大约在公元前330年，亚里士多德的弟子欧德摩斯精心编纂了一本从最初起始的希腊几何学史，这就是人们常常提到的《欧德摩斯摘要》。公元5世纪，普罗克洛斯曾简短地评论过至欧几里得为止的早期几何学史，人们以为这是以欧德摩斯为根据的。在提到爱奥尼亚学派时，普罗克洛斯曾宣称：“泰利斯是去到埃及并把几何学这一专门知识带回希腊的第一个人。他本人发现了许多命题，并将许多其他基本原理告诉给他的继承者，在某些方面他的方法更普遍，在另一些方面又更经验性些。”普罗克洛斯把下列五个命题的发现归功于泰利斯：

1.任何圆周都要被其直径平分。

2.等腰三角形的两底角相等。

3.两直线相交时，对顶角相等。

4.若已知三角形的一边和两邻角，则此三角形完全确定。

5.半圆周角是直角。

尽管泰利斯在数学的实用方面表现出的兴趣不大，但据说他曾用手杖的投影与金字塔的投影作比较的方法计算过金字塔的高度。果真如此，那就意味着泰利斯已经熟悉相似三角形的基本性质了。关于三角形三内角之和的知识也要归功于他，但其证据远不是无可争论的。可以肯定的是，泰利斯把几何学作为一门演绎科学确立了起来。上述一切事实对埃及人来说都是早已知道了的，只是埃及人一直没有把它们记载下来。而在泰利斯那里，它们却成了几何科学的开端。

泰利斯也熟悉巴比伦人的天文学，据说他曾利用巴比伦人的记载预测过一次日食，这次日食在公元前585年实际发生了。很难理解这是怎么发生的。首先，日食的真正本质对他来说想必是不了解的，因为他认为地球乃是浮在水面上的一块圆盘。其次，很难使人相信早在公元前6世纪的时候，巴比伦人的记载就已经广泛到可以作出如此准确预测的程度。

爱奥尼亚学派历经的时间不久，到了公元前6世纪末，由于波斯游牧民族的进攻，人们都向西方逃难，这就把希腊文化带到了西方。意大利和西西里岛变成了学术的新中心，学术在意大利领土上有了惊人的发展，尤其是在数学方面。早在公元前6世纪，毕达哥拉斯(公元前580年～公元前497年)就已经在意大利南部克劳登建立了学派。它原来只是一个宗教团体，但是它的成员都积极追求学问。毕达哥拉斯学派没有给后人留下什么著作，但可以很明显地看出，这个学派的数学修养非常高。普罗克洛斯记载说：“毕达哥拉斯学派把数学研究变成了一种自由教育的形式，从头来检查它的原理。”在他们手里，整个数学变得更抽象，更加脱离经济生活的需要了。在这个学派的数学发现史中，其奠基人本身的贡献大小就永远只能由后人去猜测了。

毕达哥拉斯学派对于自然现象中的某些数字关系，已经有了印象。他们已经知道，长度与4，3，2成比例的振动弦能够产生一个主音以及它的第五音和第八音。由此导致一个信念：终极的实在可以在数字里找到。亚里士多德说：“毕达哥拉斯学派似乎把数看成本质，这就是说，看成是万物的元质。”结果，关于数的科学吸引了他们强烈的注意，而前人所发展起来的计算技术(实用算术)却反而不大为他们所关心了。他们首先把抽象的数的概念放到首要地位。他们把数分成了奇数和偶数、素数和合数、完全数等。他们在研究这些数的时候，发现了许多相当复杂的定理，其中有许多后来被欧几里得收集到他的著作《几何原本》中。

毕达哥拉斯学派的算术与几何学有着密切联系。它的根据是堆成各种形状的一堆堆的鹅卵石或石头，这样他们就用图形来表达数——三角形数、正方形数等。起始n个自然数的和，即1/2n(n＋1)，形成一个三角形数；起始n个奇数的和，即1+3+5+…+(2n－1)，形成一个正方形数，等等。一个点是有大小的，积点成线，积线则成面，等等。但是人们发觉，这和毕达哥拉斯学派的另一发现有着严重的抵触，那就是正方形的对角线与其一边之比不能表示为两个正数之比，因此无法再主张所有的量都有一个共同度量。某些线和其他线不能通约的问题不仅对毕达哥拉斯学派形成了一个严重障碍，而且后来的事实证明，它在整个希腊几何学史中也都是一块绊脚石。由于人们试图寻找一种不使算术完全脱离几何学的解决办法，这就导致一种新型数的引进，那就是无理数。

对于毕达哥拉斯学派来说，研究几何学也和研究算术一样，都是为研究而研究的。有很多定理应该归功于他们。除了关于直角三角形的著名定理之外，毕达哥拉斯学派还熟悉平行线的性质，他们利用这些性质证明了三角形的三内角之和等于两直角，由此他们推证了关于多边形诸内角之和的定理。欧几里得《几何原本》中大多数是关于直线与面积之间关系的定理，这都是他们已经知道了的。他们还发展了关于比例的理论，并且熟悉欧几里得《几何原本》第六卷中的论题。由于某些原因，他们对于圆的几何学并无多大兴趣。他们对数学发展的主要贡献就是他们给予数学以演绎的特性。对他们说来，几何学已经不再仅仅是一些靠经验发现的规则的汇集了。

毕达哥拉斯学派的影响越来越大，在它的奠基人于公元前497年逝世之后，这个学派在泰兰潭地区还一直繁盛到将近4世纪末。以菲罗拉亚斯和亚及他斯为代表的后期毕达哥拉斯学派，仍然保持着其奠基人的传统，他们的工作对数学发展所给予的巨大影响，历时达两个世纪之久。

哲人派公元前480年波斯人在赛兰米斯战役中被薛西斯击败了以后，雅典很快地兴起，成了世界的商业中心和文化中心。伯里克利花了很多钱来装饰他的首都。因为当时奴隶占国家人口的大多数，劳动力并不缺乏，这就在有闲阶级中产生了一种强烈欲望，要求有某种形式的文化，作为社会的或政治的帮助。一批职业教师满足了这个要求，这些教师感到执教是光荣的，并且以此为生。这些人被大家称为哲人，或智者。他们和毕达哥拉斯学派不同，并没有形成一个以某种共同学说或哲学为特征的阶级或派别。他们的兴趣主要集中在传授辩论的艺术，但由于他们对“国民”教育产生了广泛兴趣，这就使他们做了一些有益的事。虽然数学并不是他们的主要业务，但是他们在数学历史中的重要性并不小。他们当中许多人作出了有价值的贡献，特别是在关于圆的几何性质方面(这里要提醒一下，它一直是毕达哥拉斯学派所忽视的)。这主要是由于他们在研究古代三个古典问题上的兴趣。

关于这三个问题，数学家们曾经仔细思索了许多世代。它们是：

1.三等分一个角，或者同样的说法是，三等分一段圆弧。

2.使一立方体体积加倍，亦即求出一立方体的边，使此立方体的体积是给定立方体体积的二倍。

3.化圆为方，亦即求出一个正方形或其他直线图形，使其面积与给定圆形的面积恰好相等。

二等分一个角的问题即使对古代的几何学家来说，也不会引起任何困难。然而一个角的三等分会被证明是不可能的。现在已经知道这个问题要靠直尺和圆规作有限次操作是不可能解决的，而直尺和圆规当然只是希腊人所能采用的仅有的工具。伊利斯的哲人派中有一个最著名的人物，叫做希庇亚斯(生于公元前460年)。他是一个以一切学问为己任的人，对这个问题曾经钻研过，并且认识到只使用直尺和圆规是不够的，还要求助于其他工具，其中包括非圆弧形曲线的使用。希庇亚斯所使用的一种叫做割圆曲线，这个名称的由来是因为它也可以解决求面积问题，就像它可以解决一个角的三等分(其实可以任意等分)问题一样。

P14-18

不管一个人对于数学史方面的书籍如何熟悉，他往往还是乐于发现一本新书，看看书中对某个论题是怎样处理的。在这一方面，斯科特博士已毋须我们再进行介绍。他早年关于华莱士和笛卡儿的著作已显示出他在这一方面的专心致志和博学，这两本书是基于他对原始资料的系统研究而写成的。在写现在这本书的时候，他遵循了同样的方针，并且涉及的范围更为广阔。他广泛地说明了一个数学家，特别是当他首次作出闻名于世的伟大发现和发明时，实际上说了些什么，以及是怎样说的。

于是我们就对从莱登纸草到现代计算方法的详细描述获得了栩栩如生的印象。让人高兴的是斯科特博士对于埃及、巴比伦和中国最早期的数学作出了如此充分的说明。通过以往50年来学者们的工作，关于这个古代的时期，尤其是关于这一时期中的算术知识以及实际上的代数方法人们了解得已经很多。希腊人对数学出色的贡献久已被人们所认识，而现在我们对他们在萌芽时期的发展又知道得更多了。作进一步说明用的插图的选择是恰当的，每一幅都经过了细致的审查，并给我们以更多的教益。这些插图反映了作者们的特色——例如巴罗对欧几里得著作富有生气的译文，当学童们学习欧几里得几何时，这个材料仍是一座“笨人难过的桥”。例如后来成为牛顿的分析方法的奠基石的欧几里得的著名引理，例如关于乌特勒的丰富多彩的符号，这些符号是对他的许多学生(而且往往是有名的学生)的巨大启发的源泉。

有些地方斯科特博士离开了编年史的次序，细致地按照论题来汇集发展史实，一次只致力于一个分支。例如，一直到建立解析几何的历史谈完以后才提出关于对数的历史，这里极为清楚地表现出了时间顺序上的间断。事实证明，这样的处理方法是有好处的，特别是对那些主要兴趣在于每次不停顿地探索一个分支的读者来说更是如此。人们对将二项式定理联系到《原理》一书的一章产生了深刻的印象，在一位大师手中这本书是说明物理概念和数学结构之间相互作用的有益的提示。斯科特博士依靠他对数学史的驾驭自如的能力写出了一本富有激励性的好书，我把它推荐给学生，也包括教师。

H.W.特恩布尔

本书于1958年由伦敦Taylor and Francis股份有限公司出版。作者J.F.斯科特当时是英国Middlesex地区的圣玛丽学院副校长，曾获得文学学士、哲学博士、理学博士学位，是著名的数学史家。早年出版过有关华莱士和笛卡儿的传记，随后又写了现在这本书。

本书旨在描述从上古时代起至19世纪初为止2000年间主要数学概念的发展。作者尊重史实，注重第一手资料，在介绍重要数学家的工作时，大量从他们的原著中引用材料。在不列颠博物馆、英国皇家学会和剑桥大学三一学院的帮助下，引用了比较多的史料，使人们对原始的情况获得了深刻的印象。

作者还注意到数学知识的继承性和积累性，并不把重大的发现和发明完全归功于某一个人。例如对欧几里得和牛顿这样一些主要的流派，作者也注意到说明他们的成就的渊源，从而勾画出数学科学本身发展的规律。

学习科学史的目的，不仅是为了了解一门科学的发生和发展，以便在科学研究的方法和途径方面获得启示，而且可以从科学家身上学到孜孜不倦的献身精神。为此，本书不仅可供科学史工作者参考，也是一本值得向广大数学工作者推荐的书。

本书译就于1965年。蹉跎十余年，现在才得以与读者见面。付印之前，承蒙李绪文同志阅读了全部译稿，并指出了译文中的若干错误。第五章《东方的数学》中涉及到梵文的地方，又承南亚研究所蒋忠新同志协助解决了文字中的一些问题，在此一并致谢。

原文中极少数译者认为是印刷或内容上的错误，已在译文中作了订正而没有一一作注。限于水平，译文和译注中可能有不少错误，敬希读者给予批评指正。

侯德润

1979年10月