不管你对她如何熟悉，也不管你对她如何无知，你总是无法拒绝她的诱惑，因为她，就是奔腾流淌的数学长河。本书让您爱不释手！

本书是众多有关数学史著作中的一部，也是魅力独特的一部。就规模而言，本书涉及从上古代到19世纪两千多年整个数学领域中主要数学概念的发展，结构宏大紧密；就细节而言，本书让我们与牛顿、高斯这些巨人进行亲密接触，将代数、几何、算术、三角学的发展脉络娓娓道来。

科学给人以知识，历史给人以智慧。这本数学史展现给我们的不仅有数学知识，更包括先人的智慧。它讲述了从上古到19世纪两千多年整个数学领域中主要数学概念和命题的发展，将代数、几何、算术、三角学的发展脉络娓娓道来，让我们能深入了解这些概念和命题的产生之根和发展路径，并进一步描述了数学思维和方法是如何逐步摆脱上古时期对天文学和实用性的依附，一代代天才的数学家又是如何以他们令人惊叹的思维和推理能力从数量关系和空间形式上去解释世界的。最重要的是，作者从整个文化层面探讨了小到个人的数学观念，大到民族的数学传统，如何在人类文明发展的大背景下，经过无数次的冲突与整合、淘汰与优化，以及同其他学科的交织与融合，最终形成了整个人类辉煌的数学文明。

前言

作者序

第一章 上古时代的数学

第二章 希腊数学的起源

第三章 三角学的发明

第四章 亚历山大科学的衰微——黑暗时期与复兴

第五章 东方的数学

第六章 文艺复兴时期的数学：从雷格蒙塔努斯到笛卡儿

第七章 17世纪：几何学的新方法

第八章 力学的兴起

第九章 小数和对数的发明

第十章 微积分的发明

第十一章 二项式定理和《自然哲学的数学原理》

第十二章 分析方法的发展

第十三章 从欧拉到拉格朗日

第十四章 近代几何之开端

第十五章 算术——数学中的女王

附录一 书中所提人物的小传

附录二 对书中提到的某些论题的简短注释

参考书目

人名译名对照表

地名译名对照表

后记

第五章 东方的数学

在前面所评述的希腊文化时期之前很久，远东的民族就已经开始对数学表现出兴趣了，因此我们现在要转而谈谈东方。

在公元前1200年左右，印度河流域为雅利安民族所侵。在这之后，一种粗糙的文化慢慢开始在印度民族中出现了。跟古代其他民族一样，印度民族的数学知识也是由于研究星体的运动而发展起来的。毫无疑问，印度人很早就有了初步的天文知识，这是他们为了表示季节的循环而培育起来的。他们早已有了根据太阳和月亮编写出的历书。他们经过长期地仔细观察和记录这些星体的运动，逐步获得了大量的计算技巧。

习惯上都强调东方数学知识之邃古，我们不清楚为什么要这样做，因为保存下来的数学文献中没有一本可以被肯定为是纪元前写的，吠陀时期的文献也没有显示出什么数学方面的东西。因此，要准确评价印度的成就是不可能的。即便在后来作家的著作中，也没有援引外来的材料或谈到外来的影响，可是有确凿的证据说明，这种影响是不小的。

在公元前许多世纪，印度已与西方有所接触。亚历山大大帝在征服埃及后，曾出征到美索不达米亚和整个中亚细亚。到了公元前327年，印度河流域已经处在他的管辖之下了。亚历山大向东方出征的直接后果之一，便是刺激了东西方之间的交流。在他死后，作为文化中心的巴比伦就处于塞琉西王朝的统治之下了。巴比伦人、波斯人、希腊人和印度人在这里相互接触，而这种同希腊科学的接触对印度人是很有好处的。但与希腊人不同，印度人在数学上只想获得算术和代数方面的才能，他们虽然在热心地培育这两个学科，但数学对他们来说无非是一种计算技巧，他们并将之简化为一套规则的技巧，他们所掌握的几何学从来没有达到过很高标准。许多世纪以来，它都没有超越过用少数几个没有经过证明的公式来进行测量的原始形式，这些公式都是从外国抄袭来的，而在抄袭中讹误则是屡见不鲜。在整个东方数学中，任何地方都找不到丝毫的证据可以看出有我们称之为证明的那种东西。“印度数学家对于我们所说的数学方法是没有什么兴趣的。他们没有提出一个定义，不大坚持逻辑顺序，他们并不关心他们所用的规则制定得是否适当，而且对基本原理一般都漠然视之。他们从来没有把数学作为一个研究科目来提高，事实上，他们对学问的态度可以说显然是非数学化的。”虽然如此，他们的贡献并不是不重要的，特别是他们在书写数字方面所使用的位置值原理一直被说成是“他们最伟大的成就，并且在所有的数学发明中，是一个对智慧的总进展最有贡献的发明”。在处理那些导致一个以上未知数的方程的问题方面，印度人获得了大量技巧。他们解二次方程的方法即使放在现代教科书中也未必不合适，而在他们尝试解某些简易的三次方程和四次方程的实例时，曾预见到处理这些方程的现代发展。他们没有为有理量与无理量之间的微妙区别所阻碍——这些问题一直是希腊人所感到困惑的，而毫不犹豫地接受了二次方程的无理数解，因而胜过了他们的前人。关于绝对负数这个非常重要的概念的引出，也要归功于印度人。然而，他们突出的贡献是在研究不定方程方面。在这方面，他们超过了丢番图，并且预见到现代代数中的某些发现。

如前所述，印度人研究数学的动力是由于其试图制定一种标记季节循环的历书，因此他们最早的著作是关于天文学的。这些著作就是所谓的《悉昙多》（Siddhantas，照字面直译就是《已经确立的结论》）。然而，《悉昙多》的内容比那些仅仅记载巴比伦人流传下来的结果的编纂物丰富些。它们的内容有相当多是理论知识，其中可以清楚地看到希腊影响的痕迹。《悉昙多》共有五卷，其中《苏利耶历数全书》（Surya Siddhanta）和《包利萨历数全书》（Paulisa Siddhanta）是最重要的，可以认为其中包含有印度三角学的基础。

随着西方罗马帝国的衰微，数学活动的中心移到了东方。在公元500一公元1000年期问，印度出现了四五个有名的数学家。印度数学最繁盛的时期可能是在闻名于6世纪初的天文一数学家阿耶波多的著作发表前后。他的著作实质上是《悉昙多》中所载结果的系统化，他的论文《阿耶波多历书》（Aryabhativa）是特别有价值的，因为它不仅推动了这门学科的研究，而且还描绘了当时数学知识的状态。书中可以找到常用算术运算的种种规则，其中包括乘方和开方。此外还有一些关于简单的二次方程、简单的代数恒等式和等差级数的知识。但它最重要的一个特点乃是书中用连分数处理了不定方程的问题，这和今天所用的方法实质上相同。然而，正如印度关于数学的所有其他著作一样，它很难说是一本科学论著。它收集了66条规则，其中许多都是非常复杂并且难以遵守的，它的重点总是放在论题的计算方面。书中没有一处地方提示过证明方法，在为了得到解答而采取的一个个步骤中，进行的方法与所有古代的东方问题一样，都是巧妙地用文字来解释的。如前所述，阿耶波多非常注意三角学，他引入了正弦和正矢的概念，对于托勒密的繁拙的半弦来说是一个显著的进步。他的几何学仅限于用少数规则来确定立体的体积，并且这些规则中不少是不准确的。例如，棱锥体的体积被定为底面积和高的乘积之一半，球的体积被定为具有同样半径的圆面积和这面积的平方根之乘积。虽然如此，他对于圆周与其直径之比却求出了一个非常相近的近似值。他是这样说的：100加4，乘以8，再加62000，结果是直径为20000的圆周的近似值，这就导致所求的比值是3.1416。但由于某种原因，直到12世纪前后印度数学家始终没有使用过这个值。

阿耶波多以后的6个世纪，即公元600—公元1200年，是一个灿烂辉煌的时期，同时也是一个荒芜贫瘠的时期。这个时期最不朽的贡献仍然是在不定方程的研究方面，这个问题对印度人总是具有一种强烈的吸引力。前面我们看到，丢番图在处理这种问题时显示了相当的才智，但他似乎没有得出求解的普遍法则。要把建立普遍法则的功绩归诸印度数学家会是言过其实的，但是，他们的工作对于我们在丢番图那里所能找到的东西来说，则标志着明显的进步。同时，有些迹象表明这个时期对几何学的兴趣恢复了，人们开始研究直角三角形的性质，对纯粹几何学的不大彻底的处理也出现了。就在这个时期，特别是在分析方面产生了许多显示出相当技巧的数学家，他们是婆罗摩笈多（生于598年）、摩诃吠罗（活跃于9世纪）、施里德哈勒和婆什迦罗（约1114—1185）。

婆罗摩笈多是他的国家里最伟大的数学家之一。他的工作主要建立在前人的工作上，尤其是阿耶波多的基础上，但其中也有许多创造性的东西。他的著作中经常出现算术运算（包括对开方问题的处理）、利息问题、比例、等差级数以及自然数的平方和等问题。我们在这里还可以看到他对负数及零已经有了清楚的概念。他提出了解各种二次方程的规则，这些规则是用一系列问题的解答作为例证来说明的，但在各个步骤中仍然是用文字叙述的，此外别无其他方式。然而，他在不定方程方面却显示出最伟大的才能。阿耶波多简单陈述过解一次不定方程的方法。婆罗摩笈多则大大超过了这一点，他提出了方程ax+by=c（a，b和c都是整数）的完全整数解，以及处理不定方程ax2+1=y2的巧妙方法。虽然他在这个数学分支中的工作不如我们在5个多世纪以后婆什迦罗的工作中所看到的那样完整，但这已足够给予他在数学史上一个不朽的地位了。他的几何学仅限于度量方面的几个基本规则以及关于直角三角形的性质。关于圆的几何学，包括圆内接四边形的性质，他已经有了初步知识，但他所求出的圆周与其直径之比的数值是√10，不如他的前人准确。

P68-71

人类曾经花费了辛勤而艰巨的劳动以建立一个宏伟的结构，在这个结构的基础上产生了近代数学。对这种结构的建立过程的考察不能不引起人们的惊奇和赞叹，对专家来说是如此，对所有认识到数学史和文化史之间的联系是多么密切的人们来说更是如此。令人感到鼓舞的是：近年来人们对研究数学知识发展的兴趣已日益增长，这种兴趣的反映即在过去几十年中出现了这么多关于数学史的优秀论著。

循着我们前辈们在建成的数学这样一座巍峨大厦中所从事的事业的历程前进，没有什么事比这个更令人高兴和具有诱惑力了。然而，并不是每个人都有机会或者空闲能查看原始的著作和手稿。承蒙英国皇家学会会长和委员会、剑桥大学高等学院和剑桥三一学院院长和研究员们，以及大英博物馆管理委员们的好意，作者才能够不受限制地利用他们所拥有的著作和文件。希望本书的出现会对那些不能有幸享受这些方便的人们有所帮助。

本书内容涉及从上古时代到19世纪初的这段时期。在过去大约一百年中，数学已经变得极为高度地专门化，发现数学新成就的步伐已经加快到这样一个程度，以至很少有人会贸然尝试涉猎近年来各种成就的所有方面。但是，在本书附录中仍然指出了某些主要的发展方向。虽然在人物小传中并未突出其细节，但我认为没有一些这样的细节也将会留下严重的缺陷。所以，在附录一中就包括了本书提到的某些比较重要的人物的简略生平。

这本书是为了跟踪过去两千年当中主要数学概念的发展。所以，在这本书的篇幅中几乎找不到孤立的事实。按照这个目的，作者认为，从过去的数学家们的著作中广泛地引用材料是合适的，因为只有用这种方法才能对他们在劳动中所碰到的巨大困难作出公正的评价。人们往往体会不到这些’困难是多么巨大。我们有这样的倾向，就是忘记了自从人类第一次学会使用像小数和对数这样强有力的辅助计算工具以来，不过才经历了相当少的几个世纪，更不用说微积分和近代的几何方法的出现，才只有短短两三百年了。说实在的，用不着回溯多少世纪，就能找到这样的数学家，他还未能接近一种精密有效的记数制。

作者认为，对于说明从上古时代到19世纪初期数学的发展史，这项工作规模如此宏大，以致不可能要求写得很详尽。虽然如此，作者还是希望能解释得足够清楚，以便认真学习的学生的需要至少可以部分地得到满足。此外，作者还希望又一本数学史著作的问世将会刺激出版其他的佳作以弥补本书的不足。关于数学的漫长历史的著作，书后列了一个范围较广的书目，其中大部分都不难找到。这个书目不仅对教师，而且对研究数学的学生也会有所帮助。

作者深深地感到，如果不是许多对数学史有着浓厚兴趣和渊博知识的知名人士的真诚帮助，这本书的出现是不可能的。对特恩布尔教授，作者深致谢意，不仅因为他为本书写了前言，而且因为他对原稿作了严格的批评，并提出了许多很有价值的建议。阅读本书中的证明步骤这一艰难而又吃力的任务，由威斯敏斯特学院科学学士E.E.艾郎蒙哥欣然承担。他还对本书提出了仔细斟酌过的意见，作者对此深表感谢。作者还要感谢科学学士E.D.D.斯科特，他帮助阅读了书中的证明并协助绘图，感谢英国皇家学会会员A·里奇·斯科特博士，他对本书的兴趣曾经是对作者的巨大鼓励。

对于皇家学会过去和现在的职员，作者表示最诚挚的感谢。前图书管理员H.W.鲁宾逊先生无保留地向作者提供他渊博的古籍知识。现任图书管理员L.凯伊先生和助理管理员N.鲁宾逊先生也都不辞劳苦地使编写本书的工作能尽量得到方便。

以上提出致谢的名单是不完整的，除此我们还得提到Taylor＆Francis股份有限公司的各位职员先生，作者感谢他们真诚的礼貌和耐心，以及他们对出版本书的关注。

J.F.斯科特  1957年12月

本书于1958年由伦敦Taylor&Francis股份有限公司出版。作者J.F.斯科特当时是英国米德尔塞克斯郡（Middlesex）圣玛丽学院的副校长，曾获得文学学士、哲学博士、理学博士学位，是著名的数学史家。早年出版过有关华莱士和笛卡儿的传记，随后又写了现在这本书。

本书旨在描述从上古时代起至19世纪初为止2000年间主要数学概念的发展。作者尊重史实，注重第一手资料，在介绍重要数学家的工作时，大量从他们的原著中引用材料。在大英博物馆、英国皇家学会和剑桥大学三一学院的帮助下，引用了比较多的史料，使人们对原始的情况获得了深刻的印象。

作者还注意到数学知识的继承性和积累性，并不把重大的发现和发明完全归功于某一个人。例如对欧几里得和牛顿这样一些主要的流派，作者也注意到说明他们的成就的渊源，从而勾画出数学科学本身发展的规律。

学习科学史的目的，不仅是为了了解一门科学的发生和发展，以便在科学研究的方法和途径方面获得启示，而且可以从科学家身上学到孜孜不倦的献身精神。为此，本书不仅可供科学史工作者参考，也是一本值得向广大数学工作者推荐的著作。

本书译就于1965年。蹉跎十余年，现在才得以与读者见面。付印之前，承蒙李绪文同志阅读了全部译稿，并指出了译文中的若干错误。第五章《东方的数学》中涉及梵文的地方，又承南亚研究所蒋忠新同志协助解决了文字中的一些问题，在此一并致谢。

原文中极少数译者认为是印刷或内容上的错误，已在译文中作了订正而没有一一作注。限于水平，译文和译注中可能有不少错误，敬希读者给予批评指正。

侯德润

1979年10月