本书主要介绍拓扑学中发展得较为普遍并且成熟的理论、概念与方法。除了拓扑K理论外，本书涉及微分拓扑和代数拓扑的几乎所有重要领域，包括微分流形基本理论，上、下同调论，同调群的对偶性，微分形式，de Rham与Hodge理论，同伦论，谱序列及其应用，不动点及其指标公式，不动点类理论，I型和II型Morse理论，示性类理论等。此外，本书还引入作者新发展的一套紧流形的共轭结构理论。应用该理论我们能够很清楚地理解上、下同调群的本质，并且可以推出如Poincare对偶定理、Lefschetz对偶定理、Kunneth公式、同调群万有系数定理，以及关于同伦群与同调群之间关系的Hurewicz定理等许多重要结果。

本书是一部关于流形的拓扑学专著，较全面和系统地介绍了拓扑学大多数重要领域中的理论与方法。内容涉及微分拓扑、同调论、同伦论、微分形式与谱序列、不动点理论、Morse理论，以及向量丛的示性类理论。同时，书中也介绍了作者新发展的流形共轭结构理论，主要结果包括共轭对称性定理，上、下同调群的几何化定理，最小共轭元球面定理。在这些定理基础上，同调论和同伦论中许多重要定理与结果，如Poincare对偶，Lefschetz对偶，Kunneth公式，上、下同调群，以及Hurewicz定理等的实质及直观意义变得更清楚了。

本书适合于数学、理论物理等相关专业的高年级大学生、研究生、教师及研究人员学习和参考。

《现代数学基础丛书》序

前言

第1章 微分流形

 1.1 基本概念

1.1.1 流形的概念

1.1.2 物理背景的流形

1.1.3 坐标系与微分结构

1.1.4 切空间与切映射

1.1.5 流形的定向

1.1.6 数学中的一些重要流形

 1.2 流形的嵌入

1.2.1 反函数与隐函数定理

1.2.2 子流形的浸入与嵌入

1.2.3 到RN中的嵌入

1.2.4 Whitney嵌入定理

 1.3 Frobenius定理

1.3.1 流形上的向量场与流

1.3.2 向量场的Poisson括号积

1.3.3 Frobenius定理

1.3.4 两种等价的定理形式

 1.4 正则值与横截性

1.4.1 Sard定理

1.4.2 横截性

1.4.3 Thom横截性定理

 1.5 向量丛与管形邻域

1.5.1 向量丛

1.5.2 平凡丛的判别

1.5.3 向量丛的运算

1.5.4 万有向量丛

1.5.5 管形邻域定理

 1.6 纤维丛

1.6.1 纤维丛的概念

1.6.2 球面的Hopf纤维化

1.6.3 主丛与万有丛

第2章 同调理论

 2.1 同调群

2.1.1 同调群的实质

2.1.2 可剖分空间的单纯复形

2.1.3 单纯同调群

2.1.4 单纯同调群的拓扑不变性

2.1.5 Euler示性数及Euler-Poincare公式

2.1.6 奇异同调群

2.1.7 单纯同调群与奇异同调群的同构

 2.2 流形的共轭结构与同调几何化定理

2.2.1 流形的共轭元

2.2.2 正则流形

2.2.3 共轭元分类与同调类的几何化

2.2.4 Kunneth公式与Leray-Hirsch定理

2.2.5 万有系数定理

2.2.6 一些流形的同调群

 2.3 上同调论

2.3.1 上同调的实质

2.3.2 上同调群

2.3.3 上同调几何化定理的证明

2.3.4 同调环的结构

 2.4 正合同调序列

2.4.1 相对同调群与切除定理

2.4.2 相关代数理论

2.4.3 同调序列

2.4.4 Mayer-Vietoris序列

2.4.5 正合序列的应用

 2.5 流形的对称性

2.5.1 引言

2.5.2 共轭结构的对称性定理

2.5.3 Poincare对偶

2.5.4 带边流形的共轭结构及其对称性

2.5.5 Lefschetz对偶

2.5.6 Alexander对偶定理

第3章 谱序列及微分形式

 3.1 过滤复形的谱序列

3.1.1 引言

3.1.2 Massey正合偶与谱序列的构造

3.1.3 双复形及其谱序列

 3.2 微分形式与de Rham复形

3.2.1 Rn中的微分形式

3.2.2 流形上的de Rham复形

3.2.3 微分形式的积分

3.2.4 Stokes公式

3.2.5 Poincare引理

3.2.6 关于de Rham上同调的注记

 3.3 Cech-de Rham复形及谱序列的应用

3.3.1 背景介绍

3.3.2 层的概念

3.3.3 eech上同调

3.3.4 Cech-deRham复形

3.3.5 de Rham定理

3.3.6 de Rham上同调的几何表示

 3.4 微分形式的Hodge分解定理

3.4.1 介绍

3.4.2 Hodeg*算子

3.4.3 流形上的张量场

3.4.4 Riemann流形

3.4.5 Laplace-Beltrami算子

3.4.6 Hodge定理

第4章 同伦论

 4.1 同伦群

4.1.1 基本概念

4.1.2 一些基本性质

4.1.3 相对同伦群

4.1.4 同伦群的几何表示

4.1.5 正合同伦序列

4.1.6 直和分解公式

4.1.7 一些流形的同伦群

 4.2 一些重要性质

4.2.1 共轭元的球面定理

4.2.2 πn(Sn)的计算与Hopf同伦分类

4.2.3 Hurewicz定理

4.2.4 基本群的性质

4.2.5 Whitehead乘积

4.2.6 三联组同伦群

4.2.7 道路空间ΩX(A，B)上的同伦群

 4.3 障碍理论

4.3.1 映射的延拓问题

4.3.2 n单式空间

4.3.3 映射的障碍类

4.3.4 同伦延拓定理

4.3.5 (n-1)连通空间的同伦分类

 4.4 纤维丛上的谱序列及其应用

4.4.1 Leray谱序列定理

4.4.2 奇异链的双复形

4.4.3 一些应用

4.4.4 Gysin序列与王宪钟序列

4.4.5 Hurewicz定理谱序列的证明

 4.5 球面同伦群的计算

4.5.1 Eilenber-MacLane空间

4.5.2 Postnicov纤维化序列与π4(S3)的计算

4.5.3 Whitehead纤维化与π5(S3)的计算

4.5.4 球面同伦群的Serre定理

4.5.5 Freudenthal同纬像定理

4.5.6 部分πn+k(Sn)的结果

第5章 奇点理论与指标公式

 5.1 不动点及其指数

5.1.1 Brouwel不动点定理

5.1.2 Lefschetz数

5.1.3 映射的Brouwer拓扑度

5.1.4 流形上不动点指数

 5.2 奇点的指标公式

5.2.1 Lefschetz不动点指数公式

5.2.2 紧流形上向量场的：Poincare-Hopf指标定理

5.2.3 向量场边界奇点的指标

5.2.4 带边流形的向量场指标公式

 5.3 不动点类理论

5.3.1 一般介绍

5.3.2 流形上的不动点类及Nielsen数

5.3.3 S1上映射的提升类

5.3.4 映射的提升类与Reidemeister数

5.3.5 姜伯驹群与Nielsen数的计算公式

 5.4 Morse理论(I)

5.4.1 基本概念

5.4.2 Morse理论的基本定理

5.4.3 流形的Cw复形伦型

5.4.4 Morse不等式

5.4.5 最少临界点数与流形分解

5.4.6 h配边定理与n≥5的：Poincare猜想

 5.5 Morse理论(II)

5.5.1 能量泛函及其临界点的Morse指标

5.5.2 Riemann流形上的测地线

5.5.3 能量泛函的二次变分与Jacobi场

5.5.4 指标定理

5.5.5 ΩM的CW复型结构

5.5.6 Bott周期定理

第6章 示性类

 6.1 基本概念与框架

6.1.1 向量丛的示性类

6.1.2 Grassmann流形与示性类的关系

6.1.3 Thom同构定理

6.1.4 可定向Rm丛的Euler类

 6.2 Stiefel-Whitney类

6.2.1 实向量丛上Z2系数示性类的构造

6.2.2 Stiefel-Whitney数与流形的配边

6.2.3 Z2示性类的基本性质

6.2.4 流形M×M的对角上同调类

6.2.5 切丛上Stiefel-Whitney类的吴文俊公式

6.2.6 吴文俊公式的应用

 6.3 陈省身示性类

6.3.1 Chern类的构造

6.3.2 Chern数与Euler示性数

6.3.3 复Grassmann流形的上同调环

6.3.4 一些Chern类的计算

 6.4 Pontrjagin类

6.4.1 Rn丛的实系数示性类

6.4.2 Pontjagin数与可定向配边环

6.4.3 Thom配边理论

6.4.4 Hirzebruch符号定理

6.4.5 Hirzebruch-Riemann-Roch定理

参考文献

《现代数学基础丛书》已出版书目