本书着重介绍与科学计算有关的数值分析的基本方法，在强调基本概念和理论阐释的基础上非常重视实际应用，特别是数值方法在计算机上的实现。本书在理论分析方面力求完整的前提下，适当减少抽象的理论叙述，加强算法与实际计算能力的培养，特别注重分析数值方法的构造思想。此外，本书还适当介绍了一些数值方法上的最新成果，如(循环)块三对角线性方程组的求解方法、预处理共轭梯度法、多重网格法等；同时每章给出了两个典型方法的C语言程序供读者参考。

第1章 绪论/1

 1.1 数值分析的概念与特点/1

1.1.1 数值分析的概念/1

1.1.2 数值分析的特点/1

 1.2 误差/2

1.2.1 误差来源与分类/2

1.2.2 误差的度量/2

 1.3 数值稳定性与避免误差危害/3

1.3.1 算法的数值稳定性/3

1.3.2 避免误差危害的原则/5

 习题1/6

第2章 解线性方程组的直接法/7

 2.1 高斯消去法/7

2.1.1 上三角形方程组求解/7

2.1.2 高斯消去法的基本思想/8

2.1.3 解n阶线性方程组的高斯消去法/8

2.1.4 矩阵的三角分解/10

2.1.5 高斯消去法的计算量/11

 2.2 高斯主元素消去法/12

2.2.1 高斯列主元消去法/13

2.2.2 高斯-若当消去法/13

 2.3 高斯消去法的变形/15

2.3.1 直接三角分解法/15

2.3.2 特殊矩阵的直接三角分解/18

2.3.3 列主元三角分解法/23

 本章典型方法的C语言程序/25

 习题2/27

第3章 解线性方程组的迭代法/29

 3.1 向量和矩阵的范数/29

3.1.1 向量的数量积及其性质/29

3.1.2 向量范数/30

3.1.3 矩阵范数/31

3.1.4 线性方程组的摄动分析/33

3.2 简单迭代法/34

3.2.1 迭代法的基本思想/34

3.2.2 简单迭代法的构造及相关概念/35

3.2.3 三种常见的简单迭代法/35

 3.3 简单迭代法的收敛性/41

3.3.1 迭代法收敛的基本定理/41

3.3.2 迭代法收敛的误差估计/42

3.3.3 三种常见的简单迭代法的简单判别方法/43

 3.4 共轭梯度法/46

3.4.1 与线性方程组等价的变分问题/46

3.4.2 最速下降法/47

3.4.3 共轭梯度法/49

3.4.4 预处理共轭梯度法/52

 本章典型方法的C语言程序/53

 习题3/55

第4章 非线性方程(组)的数值解法/58

 4.1 引言/58

 4.2 二分法/59

 4.3 迭代法/60

4.3.1 迭代格式的构造/60

4.3.2 迭代法的几何解释/60

4.3.3 计算步骤/60

4.3.4 收敛性与误差估计/61

4.3.5 局部收敛性/63

4.3.6 迭代法的收敛阶/63

4.3.7 迭代收敛的加速方法/64

 4.4 牛顿迭代法/66

4.4.1 一般牛顿法/66

4.4.2 牛顿法的变形/68

 4.5 解非线性方程组的牛顿迭代法/71

4.5.1 Newton法/71

4.5.2 拟Newton法/72

 本章典型方法的C语言程序/73

 习题4/75

第5章 矩阵特征值问题/77

 5.1 幂法与反幂法/77

5.1.1 幂法/78

5.1.2 反幂法/81

 5.2 计算实对称矩阵特征值的雅可比方法/82

 5.3 QR方法简介/86

5.3.1 矩阵A的QR分解/86

5.3.2 QR方法/87

 本章典型方法的C语言程序/87

 习题5/90

第6章 插值法/91

 6.1 问题的提出/91

6.1.1 插值函数的概念/91

6.1.2 插值多项式的存在唯一性/92

 6.2 拉格朗日插值多项式/92

6.2.1 线性插值和抛物插值/93

6.2.2 拉格朗日插值多项式/95

6.2.3 插值余项/96

 6.3 差商、差分及牛顿插值公式/99

6.3.1 差商及牛顿插值公式/99

6.3.2 差分及等距节点牛顿插值公式/101

 6.4 埃尔米特插值/104

 6.5 分段低次插值/106

6.5.1 高次插值的误差分析/106

6.5.2 分段低次插值/107

 6.6 三次样条插值/109

6.6.1 三次样条插值函数/109

6.6.2 三弯矩方法/110

 本章典型方法的C语言程序/112

 习题6/114

第7章 最佳平方逼近及最小二乘法/116

 7.1 函数的内积与正交多项式/116

7.1.1 函数的内积及其性质/116

7.1.2 正交多项式/117

7.1.3 勒让德多项式/118

 7.2 最佳平方逼近多项式/118

7.2.1 基本概念及其计算/118

7.2.2 用勒让德多项式作最佳平方逼近/120

 7.3 最小二乘法/121

7.3.1 最小二乘问题/121

7.3.2 用最小二乘法求数据的拟合曲线/122

7.3.3 用正交多项式作最小二乘拟合/125

7.3.4 利用最小二乘方法解超定方程组/126

 本章典型方法的C语言程序/128

 习题7/130

第8章 数值积分与数值微分/131

 8.1 数值积分问题的提出/131

8.1.1 插值型求积公式/131

8.1.2 插值型求积公式的截断误差与代数精度的概念/132

 8.2 等距节点的求积公式/133

8.2.1 柯特斯系数/133

8.2.2 几种低阶牛顿-柯特斯公式的截断误差/135

8.2.3 复化求积公式与截断误差/136

 8.3 变步长求积算法/138

8.3.1 变步长梯形求积算法/138

8.3.2 龙贝格算法/138

 8.4 高斯求积公式/141

8.4.1 一般理论/141

8.4.2 高斯一勒让德求积公式/143

 8.5 重积分的近似计算/145

 8.6 数值微分/147

8.6.1 数值微分问题的提出/147

8.6.2 插值型求导公式及截断误差/148

 本章典型方法的C语言程序/149

 习题8/151

第9章 常微分方程初值问题的数值解法/153

 9.1 问题的提出/153

 9.2 欧拉方法/154

9.2.1 欧拉公式/154

9.2.2 后退欧拉公式/155

9.2.3 改进欧拉公式/156

9.2.4 欧拉两步公式/158

 9.3 龙格-库塔方法/160

9.3.1 龙格-库塔方法的基本思想/160

9.3.2 二阶龙格-库塔公式/160

9.3.3 高阶龙格-库塔公式/161

9.3.4 变步长的龙格-库塔方法/163

 9.4 线性多步法/164

9.4.1 基于数值积分的构造方法/164

9.4.2 阿当姆斯内插公式/165

9.4.3 阿当姆斯外推公式及其阿当姆斯预测-校正系统/166

 9.5 一阶方程组与高阶方程/168

9.5.1 一阶方程组/168

9.5.2 化高阶方程为一阶方程组/169

 本章典型方法的C语言程序/171

 习题9/172

第10章 常微分方程边值问题的数值解法/174

 10.1 打靶法/174

 10.2 有限差分法/175

10.2.1 解二阶线性常微分方程第一边值问题的差分方法/176

10.2.2 解二阶非线性常微分方程第一边值问题的差分方法/177

 10.3 多重网格法/177

10.3.1 二重网格法/177

10.3.2 多重网格法/179

 本章典型方法的C语言程序/180

 习题10/182

参考答案与提示/183

 习题1/183

 习题2/183

 习题3/183

 习题4/184

 习题5/184

 习题6/185

 习题7/186

 习题8/186

 习题9/187

 习题10/189

参考文献/190