在近代，矩阵的研究在数学、力学、理论物理、理论电工技术等等的各种领域中有广泛的应用。同时在苏联和在外国文献中，都没有充分剖释矩阵论问题及其各种应用的书籍。这一本书是企图填补数学文献中这一个空白的。

这本《矩阵论(上)》(作者甘特马赫尔)所根据的，是著者在近17年中，在以姆·维·罗蒙诺索夫命名的莫斯科国立大学，以约·维·斯大林命名的第比利斯国立大学与莫斯科物理技术学院中，先后讲授矩阵论及其应用这一课程的讲义。

《矩阵论(上)》(作者甘特马赫尔)根据苏联国立技术理论出版社于1953年出版的甘特马赫尔所著的《矩阵论》来译出的，本书分上下两卷，上卷为为原书第一部分：矩阵的理论基础，包括第一至十章。分别为矩阵及其运算，高斯演段及其一些应用，n维向量空间中线性运算子，矩阵的特征多项式与最小多项式，矩阵函数，多项式矩阵的相抵变换，n维空间中线性运算子的结构，矩阵方程，U-空间中线性运算子，二次型与安密达型。《矩阵论(上)》可供综合大学学生、研究生、数学及物理科学研究人员和工程师参考之用。

第1章 矩阵及其运算／1

1 矩阵，主要的符号记法 ／11

2 长方矩阵的加法与乘法 ／3

3 方阵／12

4 相伴矩阵，逆矩阵的子式／19

5 长方矩阵的求逆，伪逆矩阵 ／22

第2章 高斯算法及其一些应用／32

1 高斯消去法／32

2 高斯算法的力学解释／37

3 行列式的西尔维斯特恒等式 ／39

4 方阵化为三角形因子的分解式 ／41

5 矩阵的分块，分块矩阵的运算方法，广义高斯算法 ／47

第3章 n维向量空问中线性算子／55

1 向量空间

2 将n维空间映入m维空间的线性算子／60

3 线性算子的加法与乘法 ／62

4 坐标的变换／63

5 等价矩阵，算子的秩，西尔维斯特不等式 #65

6 将n维空间映入其自己中的线性算子／69

7 线性算子的特征数与特征向量 ／72

8 单构线性算子／75

第4章 矩阵的特征多项式与最小多项式／78

1 矩阵多项式的加法与乘法／78

2 矩阵多项式的右除与左除，广义贝祖定理 ／80

3 矩阵的特征多项式，伴随矩阵 #83

4 同时计算伴随矩阵与特征多项式的系数的德·克·法捷耶夫方法 ／87

5 矩阵的最小多项式／90

第5章 矩阵函数／95

1 矩阵函数的定义／95

2 拉格朗日一西尔维斯特内插多项式 ／101

3 f（A）的定义的其他形式，矩阵A的分量 ／104

4 矩阵函数的级数表示 ／109

5 矩阵函数的某些性质 ／112

6 矩阵函数对于常系数线性微分方程组的积分的应用 ／117

7 在线性系统情形中运动的稳定性 ／124

第6章 多项式矩阵的等价变换，初等因子的解析理论／129

1 多项式矩阵的初等变换 ／129

2 λ—矩阵的范式／133

3 多项式矩阵的不变多项式与初等因子 ／137

4 线性二项式的等价性 ／142

5 矩阵相似的判定／144

6 矩阵的范式／145

7 矩阵f（A）的初等因子／149

8 变换矩阵的一般的构成方法 ／153

9 变换矩阵的第二种构成方法 ／156

第7章 规维空间中线性算子的结构（初等因子的几何理论）／168

1 空间的向量（关于已给予线性算子）的最小多项式 ／168

2 分解为有互质最小多项式的不变子空间的分解式 ／170

3 同余式，商空间 ／172

4 一个空间对于循环不变子空间的分解式 ／174

5 矩阵的范式／178

6 不变多项式，初等因子 ／181

7 矩阵的约当范式 ／184

8 长期方程的阿·恩·克雷洛夫变换方法 ／186

第8章 矩阵方程，／197

1 方程Ax一邪 ／197

2 特殊情形：A=B，可交换矩阵 ／201

3 方程AX—XB=C／205

4 纯量方程f（X）=0／205

5 矩阵多项式方程 ／207

6 求出满秩矩阵的m次方根／210

7 求出降秩矩阵的m次方根／213

8 矩阵的对数／217

第9章 U—空间中线性算子／219

1 绪言／219

2 空间的度量／220

3 向量线性相关性的格拉姆判定 ／223

4 正射影／224

5 格拉姆行列式的几何意义与一些不等式 ／226

6 向量序列的正交化／230

7 标准正交基／235

8 共轭算子／237

9 U—空间中的正规算子 ／240

10 正规算子，埃尔米特算子，U—算子的谱 ／242

11 非负定与正定埃尔米特算子 ／245

12 U—空fe3中线性算子的极分解式，凯利公式 ／246

13 欧几里得空间中线性算子 ／251

14 欧几里得空间中算子的极分解式与凯利公式 ／257

15 可交换正规算子 ／260

16 伪逆算子／z6z

第10章 二次型与埃尔米特型／264

1 二次型中变数的变换 ／264

2 化二次型为平方和，惯性定律 ／266

3 化二次型为平方和的拉格朗日方法与雅可比公式 ／268

4 正二次型／273

5 化二次型到主轴上去 ／276

6 二次型束／277

7 正则型束的特征数的极值性质

8 有n个自由度的系统的微振动 ／289

9 埃尔米特型／293

10 冈恰列夫型

索引／306