本书把数学史上的大事、故事、奇事用别开生面的对话形式娓娓道来，给读者们带来惊讶、疑虑、欣喜和大彻大悟。数论、非欧几何、代数学、群论、微积分；数学的过去、现在和未来，以及脉络和经纬都展示得一清二楚。并穿插有关的中外文史知识，涉笔成趣，洋溢着科学与人文结合的鲜明色彩。

本书以师生间进行一星期异趣横生的对话这一形式，形象、生动地对数论、非欧几何、代数学、群论、微积分(数学分析)、集合论以及数学哲学等现代数学的主要内容作一深入浅出的述评，并不时穿插有关的中外文史知识，涉笔成趣，娓娓道来，洋溢着科学与人文结合的鲜明色彩，有较强的可读性。凡具有初中文化程度的读者都可以由此作一番数学巡游，尝尝数学的味道。

小引/001

星期一：

皇冠巡礼——数论漫谈/007

便帽与皇冠/008

自然数的基本粒子——素数/011

素数的个数/015

素数的浓度/024

完全数与亲和数/025

可望而不可即的明珠/029

星期二：

数的家族是怎样繁殖的041

“古时候做天才很容易”/042

封闭性的破坏与恢复/045

无理数与有理数/样“有理”/049

毕达哥拉斯学派与无理数/053

数学是发现还是发明057

虚实合作/068

形数相济/066

虚数与实数/样“实在”/069

偶数多还是自然数多/074

有理数多还是自然数多/079

实数多还是自然数多/085

“无限”也分等级/090

星期三：

一步路走了2000年

——从“第五公设”到非欧几何/095

小舟谈学习几何的体会，竞与爱因斯坦相同/096

欧几里得可能已经怀疑“第五公设”/100

有益的错误——“第五公设”的证明文本/103

情理之外逻辑之中/106

真正的宝藏在何处/109

一念之转，天地换新/112

非欧几何略窥/115

检查一个怪论/119

用桌子、椅子、啤酒杯代替点、线、面/124

数学就是关系学/130

通灵宝玉由对手保管/135

星期四：

代数交响乐的主题/143

懒人的算术/144

“10=1010”/146

比阿拉伯数码更方便/150

解方程像玩火柴游戏/153

诸葛亮如果活到今天/155

问题是敲打出来的/159

400年前的一场数学比赛/162

代数家的魔法/167

星期五：

20岁天才的不朽杰作/175

“魔法”对这个问题已经技穷/176

玩一副“积木”/179

另一种玩法/183

这副“积木”就是/个“群”/185

形形色色的“群”/190

伽罗瓦理论“朦胧谈”/195

“向大师，而不是向大师的门徒学习”/204

“我没有时间了!”/206

前人已矣，后来足戒/209

星期六：

微积分浅涉/215

从流水落花汲取灵感/216

“曲”得怎么样，“直”中来反映/219

一粒沙尘内有大千世界/222

以直代曲求面积/227

微积分的灵魂/231

神龙见首不见尾/236

星期日：

把咖啡转化为定理的机器是否牢靠/243

数学家星期天也不休息/244

一根链条/248

集合论的基本“词汇”/251

集合也可作运算/256

数学家的伊甸园/260

狼来了/265

把羊群圈起来/269

篱笆里是否已经有狼/273

便帽与皇冠

陆：今天我们谈谈“数论”。顾名思义，数论就是关于数的理论，它主要的任务是研究自然数。我们从一上学就开始与自然数打交道，学习它们的四则运算，用它们解应用题，对它们可说是熟悉到家了，连小默都敢说已经是自然数的“专家”了。

默：那可不!自然数不就是从l开始往后数吗?l，2，3，4，…没完没了，无穷无尽，反正我知道该怎么数下去，不管多么大的数，一百万，一千万，一万万，我没时间罢了，只要花时间，我总能数到它。

云：一上中学，我们就开始学代数、学方程、学几何证明，我们好像已经和自然数告别了，那是小学生的玩意儿。我真不明白，自然数还有什么好研究的呢?

陆：小云的话又对又不对。说它对，因为自然数确实很浅近。我们的祖先，不管是古代中国人、古希腊人、古埃及人、古印度人，还是古巴比伦人，最先掌握的数学知识都是自然数。虽然数论的地位很崇高，有人甚至称它为数学的皇冠，它却实实在在是从算术、从四则运算这顶人人都买得起的便帽发展而来的。但是，如果深入地钻研下去，自然数里可是奥妙无穷啊!所以说小云的话又不对。数论是一门最古老的学科，源远流长，现在也还在发展着，不断地有新的领域被开拓出来。我国德高望重的老一辈数学家华罗庚先生，对数论做出了卓越的贡献，他写的《数论导引》，内容非常丰富，是这方面的权威著作。数论上还有好些几百年悬而未决的世界难题呢!

舟：对了!我听说过有一个叫什么“哥德巴赫猜想”的，还听说我国的数学家陈景润证明了什么“1+2”，是有关这个猜想的世界冠军呢!

陆：不错。“哥德巴赫猜想”就是数论中的一个世界难题。关于它，以及陈景润伯伯的成就，我后面还会谈到。

云：老师，那就请您根据我们的基础，给我们增加一些数论的知识，也让我们尝尝这门既古老又新鲜的数学分支的味道吧。

陆：哈哈!你也说起“尝味道”来了。说真的，许多人觉得数学枯燥、乏味，满眼的符号、公式，简直像天书；其实，他是没有尝到数学的味道。

P8-9

苏步青先生回忆他的数学生涯时，曾讲起早年留学日本，刚从东京高等工业学校考入东北帝国大学数学系时的一件事：“初进东北帝大，有一次老师让我们用一个下午的时间做题目，他留下题目就走了。我自以为很了不起，一个人坐在没人敢坐的第一排。两个钟头后，老师回来，首先看我的作业，一边看一边摇头，‘什么东西，这根本不是数学’。这时我才恍然大悟，过去在工科大学学的数学根本不符合数学的基本精神。”

苏先生的这段回忆提出了一个问题：“数学究竟是什么?”在这个问题上，连当时已经解过上万道微积分和解析几何习题、并决心以研究数学为终身职业的苏步青，都需要经历一番“观念更新”，建立一种新的认识。可见得，这个问题是有一定难度了，不好随意回答。

数学究竟是什么?

有五花八门的答案。有人说“数学是科学的皇后”，又有人说“数学是科学的仆人”；有人说“数学是一种语言”，又有人说“数学是一种艺术”；更有人说“数学是科学性的典范，连哲学都应该向它看齐”。所有这些答案都有一定道理，都说出了部分真理，因此都对；但是把这些答案拼凑在一起，并不能勾勒出数学的正确形象。“数学究竟是什么”，要在“做数学”(doing mathematics)中实地去体会和领悟，任何外在的定义和描述都难以给出富于真实感的答案。

中小学里，数学是一门主课，理所当然承担着教学生在“做数学”中认识数学真实形象的任务。可惜，它往往没有承担好，相反，却是在教给学生一些知识的同时，有意无意地灌输了关于数学形象的错误观念。

例如，多多益善地解难题，被看做学好数学、培养人才的不二法门。多年来，数学竞赛大盛，涌现出许多优胜者，像体育项目一样，市、区甚至学校，都有各自的“专业队”，作专门严格的训练。这些本来并非坏事，中国学生在国际一陛数学竞赛中屡创佳绩也确实令人欣喜。但是须知，任何特殊能力的培养都不应以牺牲学生的全面发展为代价；更何况，仅仅注重在一种狭隘的规范下解难题，以熟练为取胜之道，并不利于培养创造力和想像力。事实上，强化训练出来的竞赛获奖者，往往并不能成为出色的数学研究者，他们更像优秀运动员，而不大像数学家。

树立正确的数学形象，回答好“数学究竟是什么”的问题，是数学教学责无旁贷的任务。我们出版这一套数学通俗读物丛书，也就是想在这方面尽一点绵薄之力。简括地说，我们是以如下标准来选书的：

一、起点低。希望让有中学程度、对数学感兴趣、愿意动动脑筋的读者都能愉快通读。即使有些地方读不懂，那困难也是“局域化”的，不妨碍往后的阅读。数学的成品必须清晰，但“做数学”的过程又常常可以带点“朦胧”。二者好像冲突，其实很可以相通，历史上的情况就是如此。

二、观点高。上世纪60年代美国教学改革中曾提出一个观点：“只要采取适当的办法，可以向任何知识水平上的学生，包括小学生，讲授微积分。”这次改革在整体实施上存在不少问题，但上述观点是正确的，20世纪最伟大的数学家希尔伯特其实也是这个观点。向数学知识不多的公众讲解一些高等题材，恰恰是树立正确的数学形象的一条有效途径。数学通俗读物应该在高等数学和公众之间筑桥铺路，这本身就是一个挑战性的任务。

三、内容的趣味性和精神的人文性。此处所谓趣味，与“趣味数学”之“趣味”不同，而是仍然要与“数学究竟是什么”的问题相联系。就这个问题而言，趣味性与人文性的源泉是历史。许多人对数学望而生畏，是因为单单从只提供现成知识的教科书去了解数学。倘若能从数学家“做”出这些数学的过程去探寻、去体会，感受必定大不相同。数学通俗读物应能经常唤起读者设身处地像当时的数学家那样想一想的意识。

我们的工作还刚刚开始，恳切期待广大读者的批评、建议和支持。

《圣经》说上帝创造世界，用了六天，第七天休息。可是数学世界，却是人们用了数千年才创造出来的。而且这个过程远没结束，数学家们都不能休息。

这本小册子用师生七天对话的形式来介绍数学，形式新颖。时间只有七天，当然只能举其荦荦大者，所选七项是数学的皇冠——数论、数系的扩充、非欧几何、代数、群论、微积分、集合论与数学基础，在数学中都是极为重要的。

读了这本书，对于数学的全貌可以略知梗概，有助于提高数学的素养与taste。建议中学生利用课余时间跟随作者一同作一次数学世界的逍遥游。 

单壿 教授、博士生导师

曾任中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长

《数学逍遥游》把数学史上的大事、故事、奇事用别开生面的对话形式娓娓道来，给小读者们带来惊讶、疑虑、欣喜和大彻大悟。数学的过去、现在和未来，以及脉络和经纬都展示得一清二楚。本书的许多章节写得很深刻，例如“数学是发现还是发明”、“自然数与偶数一样多吗”、“狼来了”等等，值得认真细读，反复咀嚼与回味。

谈祥柏 上海市首届大众科学奖获得者