本书是一本现代Riemann(黎曼)几何的简明教材，共分两部分，第一部分介绍Riemann几何的基础知识，第二部分分别讨论测地流、负曲率流形和正曲率流形这三大现代Riemann几何研究领域的最新成果。该书通俗易懂、简易明畅，可供从事Riemann几何相关领域研究的学者参考，也可作为高年级本科生和研究生的教材和参考书。

本书是一本现代Riemann(黎曼)几何的简明教材，共分两部分，第一部分为一至四章，介绍Riemann几何的基础知识，内容包括多种形式的比较定理、Calabi—Yau体积估计、郑绍远最大直径定理和Cheeger有限定理的讨论等，内容新颖且简单明了，尤其是比较定理的证明采用常微不等式的方法，不同于经典的变分方法，新的证明和讨论通俗易懂、简易明畅。本书的第二部分包括第五、六和七章，分别讨论测地流、负曲率流形和正曲率流形这三大现代Riemann几何研究领域的最新成果，许多新的研究结果如Cheeger-Gromoll灵魂猜想的新证明都是第一次在中外几何教科书中出现。

本书可供从事Riemann几何相关领域研究的学者参考，也可作为高年级本科生和研究生的教材和参考书。

第一部分基础知识和基本定理

第一章Riemann流形

§1．1 流形、切空间和切丛

§1．2 Riemann联络和仿射联络

§1．3 向量场的平行移动和测地线

§1．4 第一变分公式

§1．5 指数映照，完备性和Hopf-Rinow定理

习题一

第二章 曲率和比较定理

§2．1 曲率张量、截面曲率和Ricci曲率

§2．2 测地线族的变分向量场

§2．3 Jacobi方程和Riccati方程

§2．4 Gromov引理和经典比较定理的新证明

§2．5 Gromov—Bishop比较定理

习题二

第三章 共轭点和最大直径定理

§3．1 共轭点、第二变分公式

§3．2 Ricci曲率和Myers直径定理

§3．3 郑绍远最大直径定理的简单证明

§3．4 Calabi—Yau体积线性估计

习题三

第四章 单一半径和有限定理

§4．1 割点、割迹和单一半径

§4．2 Cheeger的单一半径估计

§4．3 重心和流形中的离散图

§4．4 Cheeger有限定理

习题四

第二部分 现代理论选讲

第五章 Riemann流形上的测地流

§5．1 测地流和切丛上的辛结构

§5．2 闭测地线

§5．3 无共轭点的流形和：Hopf猜测

习题五(含未解决的问题)

第六章 具有非正曲率的流形

§6．1 测地线、非正曲率和负曲率

§6．2 基本群、Preissmann和丘成桐定理

§6．3 Gromoll—Wolf和Lawson-Yau分解定理

§6．4 Eberlein正规交换子群分解定理

§6．5 Gromov图形流形和最小体积流形

§6．6 测地流的刚性定理和其他刚性定理简介

习题六(含未解决的问题)

第七章 具有非负曲率的流形

§7．1 具有非负曲率流形的例子

§7．2 基本群和陈省身猜测的反例

§7．3 Cheeger—Gromoll理论和开流形

§7．4 Cheeger—Gromoll灵魂猜想的证明

习题七(含未解决的问题)

参考文献