一个数学教师的教学行为，必须遵从数学的认知规律，才能收到良好的教学效果。本书提倡科学的数学教学，要大家承认并注重数学的特殊认知规律。将讲授的数学逻辑，变得合乎情理而又明白。从而激发人的兴趣和智慧。本书作者曹之江教授将自己在实践教学活动中总结出来的系统的数学教学观及其科学教学方法介绍给数学教学工作者。

曹之江教授是首届高等学校教学名师奖获得者，本书是他历年来关于数学教育的论述文集，是他近二十余年来工作与思想的结晶，对高等学校数学教育改革开拓了新的认识视野。曹之江教授自1982年起至2000年，一直连续担任教育部数学力学天文学教材编审委员会、数学力学教学指导委员会委员，并均在其中任理科数学组组长。在这期间，他对全国多所高校的数学教学进行深入的调研，进行了广泛的交流，并开创了许多具有建设性意义的工作。在这些实践中，曹之江教授也逐步形成了比较明确而系统的教学思想，并撰写了很多论文和教材，可以说这些成果是高等学校数学教育改革的见证，对今天的教学实践具有积极指导意义。纵观全书，内容充实，观点鲜明、新颖，有很好的现实针对性，具有较高的理论和实践价值。

绪言——我的数学教学观

现代数学教学的原理和实践(一)

现代数学教学的原理和实践(二)

漫谈如何教数学

什么是实数？(上)

什么是实数？(下)

数学的个性与数学认知

漫谈数学科学的教学研究

一项大胆的教育创新工程

数学的基础教学要返璞归真

微积分学的公理化

数学的认知与数学的教学

知识与智慧

大学数学教育与新世纪人才培养

文科教育与数学文化

当前高校理科改革刍议

论优秀教学及其实现

《常微分方程简明教程》序言

实数和微积分学

代数数与超越数

关于学，教和学教

附录1 良工不示人以璞

附录2 曲公“复课闹革命”

二战后的半个世纪，随着在战争中激发起来的电子技术、原子能技术和计算机技术成为先导，全球的工业与科技，取得了令人瞠目结舌的飞跃发展，世界的面貌发生了翻天覆地的变化。当今国际上科技持续快速发展的势头以及由此而引发的社会产业及其他方面的剧变态势，使得现代教育在世界上所有国家里，都提到了前所未有的地位。一个国家要有强劲的科技，要提高综合国力，首先必须有一个先进而发达的教育体系。为了使得本国教育，能够顺应世界发展的潮流，使它在未来新世纪的竞争中，有一个有效而富有活力的机制，世界各国，特别是发达国家，都在对本国50年代以来的教育，进行深入的反思。

我国几千年来，是一个以农立国的国家，一向讲求实际。在办教育上，自然也是比较注重功利、讲求实效的。新中国成立以来，在一段时期内，教育主要被作为政治斗争的工具，成了“无产阶级”和“资产阶级”激烈争夺的阵地。文革以后，在商品经济大潮的席卷下，为了生存与发展，有些人又把教育当成了市场经济的附庸，大学里的一切改革，唯市场的马首是瞻。这样，它又迎来了一个“主人”。

许多人在观念上，习惯于把社会的政治、经济视为凌驾于教育之上的主体性的或第一性的东西，而把教育视为是第二性、服务性的东西，不认为它应有独立的品格和地位。诚然，教育理应为社会的政治、经济服务的，它必须有功利效益。一个国家不可能花钱去供养一帮只坐而论道，不为社会谋事的清客，因此它必须要求大学尽可能多地为国家的建设和社会的进步作出贡献，特别是对于一个还较贫困落后的国家而言，这就更是天经地义、无可非议的了。

然而教育的功利性(它的社会责任)，并不等于教育就是政治与经济的工具或附庸。社会是一个具有多元构造的复杂有机体，就像人的躯体，有五官四肢，又有胃肠等内脏器官，各司其职。人的五官四肢，整日辛苦，为了填饱一个胃而奔忙，于是我们说，胃是人的第一性的东西，五官四肢是第二性的附庸。这种说法，人们听了会感到有点滑稽。然而，把教育当作社会中的一种处于附庸地位的观念，却为什么就是自然的呢？

教育的功利不等于功利的教育。教育是社会的一项神圣的事业，那种唯功利的功利主义教育观念，在当今时代，是一种不合吋宜的陈旧偏见，是没有任何依据的。谈到功利主义引发的主从观念，不禁使人想起了中世纪的欧洲。那时宗教在欧洲占着统治地位，科学只是它的奴婢，是绝对的附庸。诸如地球与太阳谁绕谁转，木块与石块谁先落地等问题，都是须按照教会的意旨让科学去认定的。但到了16世纪，新兴的资产阶级通过自己的思想家，发起了思想解放运动，造了宗教的反，使科学从奴婢的地位中解放出来，取得了与宗教平起平坐的权利，从而开创了人类科技文明的新纪元。

也许有人会说，这些空泛的名分之争，有什么意义？何必费神议论。这样想，是把一个严肃的问题简单化了。我们这里，虽然把事情说得比较浅俗，然而事实上，我们面临的却是一个当今教育界实实在在存在的根本教育观念之争。观念本身尽管是虚的，但是它驾驭着实在的事物。不同的教育观念，产生出不同的教育行为，决定不同的教育政策和体制，其后效是深远而不可估量的。

应该说，教育是社会中最崇高、最重要的一项事业。教育的目的是造就人，是人的潜能的开发，也是人的为承担社会责任所必需的素质(包括知识和技能)的培育。简略地说，教育的内涵也许可以用术、道二字来概括。这里“术”，是指专门知识或技能，而所谓“道”，则是一种形而上的概念，泛指引导人的思想与行为的一种精神的、哲学的涵养，它包括对宇宙的机理、社会的演化、人生的价值等方面的参透与领悟。若说得明白与具体些，我们也可以用知识与智慧四个字来概括教育的内涵。这里所指知识，包含由知识衍生的技能在内。而所说的智慧，则是指人的才略与识见，如宏观的判断、哲学的思考力、创造的胆略等，而不是指那种不受信念约束的随机应变或鸡鸣狗盗的权谋机变之类的小聪明。知识使人有处理与解决具体问题的才，而智慧则使人纵观古今成败，横察世事人情，在人生的十字路口，做到审时度势，作出正确的决断，这也就是说，使人有识。因此教育，也可视为才与识的培育。一个人，不能有才无识，仅仅有才，并不一定就能使人有所作为，变成社会有用的人，并使自己求得幸福。一个人有才无识，常常会是玩弄小聪明的大愚若智的小人。我们学习历史或观察社会，都可以看到，一个人完成非凡的事业，必定具有非凡的见识，他不仅善于处事，而且也必善于处世。

我们现在回过来，再谈功利主义教育问题。从前面的分析，不难看出，所谓功利教育，从本质上来讲，乃是一种求术不问道(或谋食不谋道)的教育，是只知灌注知识，不启迪智慧的重才不重识的庸才教育。因此这是一种片面的、不完善的教育。功利教育之所以有影响与吃得开，是因为人们上大学，一般企望的就是学知识和本领。家长们殷切地“望子成龙”，但他们并没有考虑过什么才是真正的“成龙之道”，而一味地与老师、校长一起，鞭策着孩子多学知识，而不问其他。他们不懂得，急功近利的教育，只能使人获得狭窄的浅知薄识，它只使人成“虫”，而不成“龙”。而健全的教育，则必是一种培育素质的全面教育，或者说，是一种深功远利，而不是浅功近利的教育。

诚然，教育的主要内容，是传授知识。然而教育决不应是知识的单纯传输，更不是知识的贩卖。它在知识传输的同时，必须做到所传授的知识，能够服务于社会，为人类造福。“知识就是力量”，但这力量是由人来操纵的。知识好像一把“双刃剑”，它既可为社会造福，也可以反过来为社会造祸。智者用知识来改造世界，造福人类，使自己成为社会所尊崇的英杰。愚者则不能明智地认识与协调个人与社会的关系，把知识纯粹作为个人谋私利的手段，而当个人与社会的利益不能统一时，就会用知识来危害社会。因此教育不只是把知识之剑传授给学生，而且还必须使受教育者具有社会的责任感，使他们有宽阔的胸怀与视野，能够把知识回报给国家。

功利教育当前的主要特征，大致有二：一是只重视专业教育，忽略人文素质教育，把后者看成为与学生的就业与吃饭无关的事情，而置之不理；二是在专业教学中，片面偏重实用技术，而忽视理论基础和原理。教育的短视者看不见当前高新科技持续飞速发展过程中，知识的半衰期愈来愈短，新旧技术的更迭速度愈来愈快、使人望尘莫及的事实，仍一味地追求“短平快”的浅知教育。实际上，国际上许多教育界与科技界有识之士早已指出，现在大学里最重要的，不是为具体的职业而进行的面窄的训练，而是应培养学生适应不断变化着的世界的应变能力，和不断更新知识以求得继续生存发展的能力。因此当今一个学生，若在专业上没有较深厚的理论基础，而只有一点肤浅的具体知识，则在新旧知识与技术快速更迭的情势下，势必无力应变，因为不懂原理，更难以学会新知识与技能，最后就可能落伍，成为社会上新的技术文盲。P65-68

写在书前的话

数学，特别是现代形态的数学，是一种很空洞抽象的东西，它是极不易学好的，自然也是极不易教好的。这事我虽然自小就明白，但也许在我的脾性申，有一种专门要与难事周旋的劲，因此在我年轻的时候，竟贸然的定下了以数学教学作为自己一生的事业追求，希望由自己来证明数学并不是注定教不好的。

当然在我刚开始从事教学的时候，只能够凭着自己在中学、大学里学习的经验，和对数学的一点粗浅了解，把课文中的数学逻辑尽量分解得细致些，讲课的语言尽量用得简明平易，以此来求得好一点的教学效果。到了后来，随着知识和经验的积累，才逐渐明白，一个人要真正教好数学，他至少应该明白两件事：

A．数学究竟是一种什么学问？人们都说数学是一种科学，为什么它是“科学”？谈起科学，我们就会想起生物学、化学、物理学等。譬如生物学，那是研究各类动植物生长发展规律的学问；譬如化学，那是研究各类物质结构及其相互作用的学问；譬如物理学，那更是研究宇宙万物运动形态及其本质的大学问，它们所讨论的，都是世上现实的、具体的物质对象及其运动形态，其研究的目的也是不言而喻的。然而数学的对象却是什么呢？它不是任何实在的物质，而只是一堆用字母表示的符号在推来演去，看上去更像是在一定游戏规则支配着的一盘棋。数学这种东西，它是怎么产生出来的？又是如何演化发展的？它的现实的价值和意义何在？当然一个人若对于这一切并无概念，那么他在学、教数学时自然就不会有自觉性，更遑论发挥什么主观能动性了。

B．我们应当如何去学习数学，或者说如何才能学好它或教好它？现在学术界普遍有一种观念，即认为数学既是一门科学，也是一门艺术。对于数学的教学，我们这里也可以说，它既是一种科学，又是一种艺术。说它是一种科学，这是因为数学，如前所云，是一门特殊类型的科学，对于这种特殊的科学，人的大脑在接受它们时，其认知也就不是寻常的那种观察、实验、归纳、检验的程序，而呈现出了特殊的规律性。数学的这种特殊的认知规律性，就意味着数学教学的科学性，一个教师的教学行为，若不遵从数学的认知规律，则这也许是他教学不成功的主因。我们提倡科学的数学教学，就是要大家承认并注重数学的特殊认知规律。承认数学教学的科学性，其标志就是使我们讲授的数学逻辑，变得合乎情理而又明白。我们说数学教学是一种艺术，这是说数学教学还要求教学者有热情和能动的创造性，而这种创造精神，乃是固有的数学艺术美所赋予的，它的标志就是激发人的兴趣和智慧。

回想起来，自己早年时期对于数学教学的认识，委实是十分肤浅的。数学教学如此大面积和长时期的效果不佳，难道仅仅是个人教学技术问题吗？幸运的是我有了一个很好的机遇，自20世纪80年代初至90年代末的近二十年时间内，我有幸参加了教育部的数学力学教学指导委员会(在80年代称为教材编审委员会)工作，有很多机会到国內各高校访问并与高等教育出版社和教育界许多同仁们切磋，这使我大长见识，受到了很多启悟，并逐渐形成了若干系统的认识，我后来就将这些感悟到的道理，逐一记述写成文字，这也就是本书的最初来源。承高等教育出版社的关切，本书今天得以正式出版，这使我感到非常高兴，因为这就使我能够直接与全国的读者同仁进行切磋。据我所知，这是国內出版的第一本专门系统论述数学教学的书，也是第一本以新的观点来审视数学教学的书。现代的数学，站在人类理性主义文化的顶峰，从来是人类现代文明的标志，从某种意义上来讲，它也是当代人的一种文化层次的标识。今天，我们地球上几乎每一个受过教育的人，都要在不同层次上接受数学的教育，因此，数学教学乃是当今一个有着十分现实针对性的问题。几十年来我们天天都在倡导改革，但是对于数学的教学，我们可以说些什么呢？我们为什么不能用一种新的思维方式，即以一种科学的视野，而不仅仅是技术的角度去审视数学的教学呢？

作者

2007年5月10日