泛函分析是数学中的一个较新的重要分支。它起源于经典数学物理中变分问题，概括了经典分析、函数论等中某些重要概念、问题和成果，并受到量子物理、现代力学以及现代工程技术的有力刺激。它综合地运用分析、代数和几何的观点和方法，研究分析数学、现代物理和现代工程技术等所提出的有关问题。它是本世纪出现的第一个高度综合性的数学学科分支。从本世纪中叶开始，偏微分方程理论、概率论(特别是随机过程理论)以及部分计算数学，由于运用了泛函分析而得到了大发展。现在，泛函分析的观念和方法已经有力地渗透并影响着现代纯粹与应用数学、理论物理及现代工程技术理论的许多分支，如微分方程、概率论、计算数学、量子物理、统计力学、现代控制论、现代力学、抽象调和分析、函数论、大范围微分几何等。

本书主要综合介绍泛函分析的最基本最重要的几个方面。全书共分五章：第一章，向量值函数的积分和向量值测度；第二章，算子半群；第三章，拓扑线性空间；第四章，Banach代数；第五章，非线性映射。

本书共分五章，分别介绍了向量值函数的积分和向量值测度，算子半群，拓扑线性空间，Banach代数，非线性映射等基本内容。除广义函数论因《实变函数论与泛函分析》(夏道行等编)第七章中已有扼要介绍外，泛函分析中最重要也是最具应用价值的几个部分都在本书中作了介绍。只要具备大学阶段所规定的泛函分析基础课知识就可阅读本书，本书可作为综合大学、师范院校数学类各专业高年级学生的选修课教材，也可作为理、工科有关专业研究生教材。

第一章 向量值函数的积分与向量值测度

 §1.1 向量值函数的微积分

1.1.1 向量值函数的连续性

1.1.2 向量值函数的可导性

1.1.3 向量值函数的Riemann积分

 §1.2 向量值可测函数

1.2.1 可测函数的定义

1.2.2 强可测与弱可测的关系

1.2.3 算子值可测函数

 §1.3 Bochner积分和Pettis积分

1.3.1 Pettis积分

1.3.2 Bochner积分

1.3.3 Bochner可积函数的性质

1.3.4 算子值函数的Bochaner积分

 §1.4 向量值测度

1.4.1 向量值测度的基本概念

1.4.2 向量值测度的可列可加性

1.4.3 向量值测度的绝对连续性

1.4.4 Radon-Nikodvm性质

1.4.5 具有Riesz表示的算子

1.4.6 关于Radon-Nikodym性质的附注

1.4.7 Vitali—Hahn—Saks定理

1.4.8 数值函数关于向量值测度的积分

第二章 算子半群

 §2.1 算子半群的概念

2.1.1 算子半群概念的由来

2.1.2 算子半群的一些例子

2.1.3 算子半群的可测性和连续性

 §2.2 C0类算子半群

2.2.1 C0类算子半群的基本概念

2.2.2 无穷小母元的预解式

2.2.3 C0类算子半群的表示

2.2.4 无穷小母元的特征

2.2.5 C0类压缩半群

 §2.3 算子半群的应用

2.3.1 Taylor公式的推广

2.3.2 抽象Cauchy问题

 §2.4 遍历理论

2.4.1 概述

2.4.2 遍历定理

2.4.3 推广的形式

2.4.4 算子半群的遍历定理

 §2.5 单参数算子群，stone定理

2.5.1 半群成为群的条件.

2.5.2 单参数酉算子群的Ston定理

2.5.3 Stone定理的应用：平稳随机过程

2.5.4 Stone定理的应用：平均遍历定理

第三章 拓扑线性空间

 §3.1 拓扑空间

3.1.1 邻域，序，网

3.1.2 拓扑的强弱、生成和分离公理

3.1.3 连续映射和ypbIcoH引理

3.1.4 紧性

3.1.5 乘积拓扑，THxoHoB定理

3.1.6 诱导拓扑和可度量化空间

 §3.2 拓扑线性空间

3.2.1 基本概念和性质

3.2.2 有限维线性空间的特征

3.2.3 线性连续算子和线性连续泛函

3.2.4 有界集和完全有界集

3.2.5 局部基的特征，商拓扑

3.2.6 完备集，完备性

3.2.7 线性度量空间

 §3.3 凸集与局部凸空间

3.3.1 凸集及凸集的分离定理

3.3.2 凸集的Minkowski泛函，线性泛函的延拓

3.3.3 局部凸空间

3.3.4 弱拓扑，商拓扑

3.3.5 弱拓扑

3.3.6 端点，KpehH—MHbMaH定理，不动点定理

 §3.4 几种局部凸空间

3.4.1 囿空间

3.4.2 桶式空间

3.4.3 Mackeyr空间

3.4.4 赋范线性空间

3.4.5 B(H-H)的各种拓扑

3.4.6 归纳极限与投影极限

第四章 Banach代数

 §4.1 基本概念和性质，元的正则集及谱

4.1.1 代数，单位元，正则元，正则集及谱

4.1.2 Banach代数中元素的谱

4.1.3 元素在子代数中的谱

4.1.4 几个例子

 §4.2 reJIb中aH表示，交换Banach代数

4.2.1 线性可乘泛函

4.2.2 reJJbaH且表示

4.2.3 理想，极大理想

4.2.4 几个Banach代数上线性可乘泛函的形式

4.2.5 半单的Banach代数

 §4.3 对称Ba[1ach代数

4.3.1 对合

4.3.2 正泛函与表示

4.3.3 不可分解的正泛函与既约表示

 §4.4 C代数

4.4.1 C代数的基本性质

4.4.2 正常元的函数演算

4.4.3 谱分解定理

4.4.4 二次换位定理

4.4.5 正元

4.4.6 Kaplansky稠密性定理

4.4.7 正泛函，态与纯态

4.4.8 线性有界泛函的分解

4.4.9 纯态与可乘性

 §4.5 群代数

4.5.1 局部紧Hausclorrff空间上的积分

4.5.2 局部紧群上的Haar积分

4.5.3 群代数

第五章 非线性映射

 §5.1 映射的微分

5.1.1 强微分

5.1.2 弱微分

5.1.3 高阶微分

5.1.4 Taylor公式

5.1.5 幂级数

 §5.2 隐函数定理

5.2.1 Gp映射

5.2.2 隐函数存在定理

5.2.3 隐函数的可微性

 §5.3 泛函极值

5.3.1 泛函极值的必要条件

5.3.2 泛函极值存在性的下半弱连续条件

5.3.3 最速下降法

5.3.4 泛函极值存在性的Palais-Smale条件

 §5.4 Brouwer度

5.4.1 C1类映射的拓扑度

5.4.2 几个引理

5.4.3 C1类映射的拓扑度(续)

5.4.4 连续映射的拓扑度及其性质

§5.5 Leray—Schauder度

5.5.1 全连续映射

5.5.2 Leray—Schauder度的定义

5.5.3 Lerdy—Schallder度的性质

 §5.6 不动点定理

5.6.1 Brouwer不动点定理

5.6.2 Schauder不动点定理

5.6.3 集压缩映射的不动点

5.6.4 多值映射的不动点

参考文献

索引