对于接触过拓扑学、群论初步的学生，单复形、同调群、上同调群的理论无疑是现代数学中最具备这一特色的内容。但是，由于我们时时刻刻都不忘记中学课程的知识起点，因此我们从欧拉多面体定理开始，并且把欧拉多面体定理作为三角形内角和定理在方法论上的推广，进一步推广到闭曲面的欧拉特征。引入三角形剖分就自然地发展为几何单形与复形的概念，沿这条路线一路顺行可以得到同调群以及更加代数化的上同调群的概念。鉴于张广祥专著的《数学思想10讲》的目标定位，我们不可能触及更多的上同调群方法在解决重大问题中的应用，如群扩张等，那样会卷入太多的专业课程中的概念和一系列过于复杂的基础知识。仅仅上同调群的定义就已经使我们担心脱离本科水平的教学基础层面。但是对于想进一步了解现代数学面貌，而又并不打算在这一领域系统学习或研究的人来说，沿着这条路线无疑可以满足他们的愿望。

《数学思想10讲》以数学史上曾经出现过的一些重要的初等问题为红线，考察欧拉、高斯、柯西、希尔伯特等近代最重要的数学家在解决欧几里得、丢番图、费马时代遗留下来的古典数学问题所采取的观点、探索问题的过程以及最终解决问题的途径和方法，解读数学家解决问题的思想和方法。我们还探讨数学推理的逻辑基础，以大量例证说明虽然数学推理的形式是演绎的，但是直觉参与了数学推理的全过程，纯粹而彻底的公理化的推理方式实际上是不存在的。希望本书所论述的观点无论对大学数学课程教学，还是对中学数学课程教学都有一定的参考启发作用。

张广祥专著的《数学思想10讲》可以作为大学数学专业选修课教材，也可以作为数学教育方向的研究生和研究者的参考书，还适合对数学有兴趣的中学生和数学爱好者阅读。

第1讲 希尔伯特第三问题：代数与几何结合的典范

1．1 科学的任务

1．2 从勾股定理到面积剖分法

1．3 希尔伯特第三问题

1．4 Dehn不变量方法

参考文献

第2讲 整数中的若干定理

2．1 欧拉二平方和分解

2．2 拉格朗日四平方和定理

2．3 高斯三平方和定理

2．4 天衣无缝、难以置信

2．5 一个成功的小数推断

参考文献

第3讲 完美的数系字宙：合成代数分类与Hurwitz定理

3．1 数系的核心：康托尔不可数定理

3．2 Frobenius定理：三元数系不存在

3．3 合成代数分类与Hurwitz定理

3．4 希尔伯特第17问题：正定函数表为平方和

3．5 几何连续性与极限完备性等价

参考文献

第4讲 从圆锥曲线到射影几何

4．1 圆锥曲线作为圆的中心射影

4．2 射影变换的基本性质

4．3 对偶原理与对偶定理

4．4 特例原理的进一步应用：笛沙格定理

4．5 调和分割与仅用直尺的作图

参考文献

第5讲 处于交汇点的数学

5．1 欧拉多面体定理：作为三角形内角和定理的推广

5．2 基本群与同伦型

5．3 单复形与同调群

5．4 闭曲面分类定理

5．5 几何、代数与分析的交汇点

参考文献

第6讲 欧拉的数学直觉

6．1 级数求和中的直观方法

6．2 欧拉“圆函数”公式

6．3 圆函数公式的应用：弱Dirichlet定理证明

6．4 费马问题的欧拉方法

6．5 欧拉方法与高斯方法的对比

6．6 欧拉是我们所有人的老师，e是所有数的老师

参考文献

第7讲 几何直观

7．1 直觉本能：看出来的证明

7．2 刘徽的直观构形

7．3 空问维数的应用

7．4 维度的区别：折纸实现的几何作图

7．5 e的无理性：儿何途径

参考文献

第8讲 模式直观在数学证明中的作用

8．1 代数推理中的模式直观

8．2 形式符弓代数演算的认识沦价值

8．3 原始归纳与数字式证明

8．4 直觉推理与演绎推理

8．5 归纳思维与范畴扩充

参考文献

第9讲 几何对称与代数对称

9．1 几何图形的对称

9．2 方程根的对称性

9．3 三、四次方程求解

9．4 高斯已经接近Galois群：17次单位根的代数表达

9．5 不可解方程

参考文献

第10讲 群与Goldbach猜想

10．1 Goldbach猜想与群论的关系

10．2 置换群与线性群中的单位根

10．3 等价性定理

10．4 晶体约束

10．5 Morlev定理的群论证法

参考文献