本书是在第四版的基础上修订而成的，内容涵盖大学微分几何课程的基本内容和理论，共分四章，主要包括：曲线论、曲面论、外微分形式和活动标架、整体微分几何初步等。这次再版主要改写了完备曲面的比较定理部分，使读者进一步学习近代比较黎曼几何时，有较好的分析准备和直观的几何背景。
本书可供高等师范院校数学类专业本科生用作教材，也可供其他科技工作者参考。

第一章 曲线论
1 向量函数
1.1 向量函数的极限
1.2 向量函数的连续性
1.3 向量函数的微商
1.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式
1.5 向量函数的积分
2 曲线的概念
2.1 曲线的概念
2.2 光滑曲线曲线的正则点
2.3 曲线的切线和法平面
2.4 曲线的弧长自然参数
3 空间曲线
3.1 空间曲线的密切平面
3.2 空间曲线的基本三棱形
3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式
3.4 空间曲线在一点邻近的结构
3.5 空间曲线论的基本定理
3.6 一般螺线
第二章 曲面论
1 曲面的概念
1.1 简单曲面及其参数表示
1.2 光滑曲面曲面的切平面和法线
1.3 曲面上的曲线族和曲线网
2 曲面的第一基本形式
2.1 曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长
2.2 曲面上两方向的交角
2.3 正交曲线族和正交轨线
2.4 曲面域的面积
2.5 等距变换
2.6 保角变换
3 曲面的第二基本形式
3.1 曲面的第二基本形式
3.2 曲面上曲线的曲率
3.3 迪潘（Dupin）指标线
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
3.5 曲面的主方向和曲率线
3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率
3.7 曲面在一点邻近的结构
3.8 高斯曲率的几何意义
4 直纹面和可展曲面
4.1 直纹面
4.2 可展曲面
4.3 线汇
5 曲面论的基本定理
5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号
5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式
5.3 曲面论的基本定理
6 曲面上的测地线
6.1 曲面上曲线的测地曲率
6.2 曲面上的测地线
6.3 曲面上的半测地坐标网
6.4 曲面上测地线的短程性
6.5 高斯-波涅（Gauss-Bonnet）公式
6.6 曲面上向量的平行移动
6.7 极小曲面
7 常高斯曲率的曲面
7.1 常高斯曲率的曲面
7.2 伪球面
7.3 罗氏几何
第三章 外微分形式和活动标架
1 外微分形式
1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数
1.2 外微分形式
1.3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理
2 活动标架
2.1 合同变换群
2.2 活动标架
2.3 活动标架法
3 用活动标架法研究曲面
3.1 曲面论的基本定理
3.2 曲面的第一和第二基本形式
3.3 曲面上的曲线法曲率测地曲率和测地挠率
3.4 曲面的主曲率欧拉公式高斯曲率和平均曲率
3.5 曲面上向量的平行移动
3.6 闭曲面的高斯-波涅公式
第四章 整体微分几何初步
1 平面曲线的整体性质
1.1 旋转数
1.2 凸曲线
1.3 等周不等式
1.4 四顶点定理
1.5 等宽曲线
1.6 平面上的克罗夫顿（Crofton）公式
2 空间曲线的整体性质
2.1 芬切尔（Fenchel）定理
2.2 球面上的克罗夫顿公式
2.3 法里-米尔诺（Fáry-Milnor）定理
2.4 闭曲线的全挠率
3 曲面的整体性质
3.1 曲面的整体定义
3.2 曲面的一般性质
3.3 卵形面
3.4 完备曲面
3.5 负常高斯曲率的曲面
4 完备曲面的比较定理
4.1 完备曲面上的极坐标系
4.2 完备曲面的比较定理
4.3 完备曲面的余弦定律
名词索引