一部故事化的数学简史，古根海姆奖得主最受欢迎的科普读物，连续六十周荣登《纽约时报》科普畅销书榜。通过本书，我们将透过数学证明和数理逻辑的表面形式，来洞见数学之本源——数学思想和逻辑思维的基本模式，并以此来对诸多疑问作以解析。

公元前300年，欧几里德在十三卷羊皮纸上写下了《几何原本》，那时逻辑推理已经相当成熟，然而类似如下的论辩又使得常规的数理逻辑陷入了自相矛盾之中。让一个物体移动任意一段距离，它必须首先到达一半距离处，然后是剩余距离的一半处，如此连续地重复着，物体则永远不得不到达某个剩余距离的一半处，所以，它永远也不可能移动全部的距离……

怪异的无穷以及诸如此类的有关推理与逻辑的疑问，向数学提出了艰巨的挑战。乍眼看来这些疑问常常令人敬畏，然而在本书中，我们将透过数学证明和数理逻辑的表面形式，来洞见数学之本源——数学思想和逻辑思维的基本模式，并以此来对上述疑问作以解析。

正如书中所言：数学好似一座繁茂的雨林，漫步其中我们所感受到的不仅是智慧的伟大，由深邃思想和严密论证而带来的数学之美以及涉步于数学旅程之中所伴随的愉悦更加令人流连。

前言

第一部分 逻辑

第一章 求知学校

逻辑与证明的入门介绍／2

第二章 如何说服吉素

毕达哥拉斯定理是正确的吗?／21

第三章 简单而显然的事实

直觉和信仰在数学中的角色／33

第四章 乌龟对阿基里斯的告白

逻辑及其漏洞／48

第五章 勒让德的叹息

非欧几何的奇异世界／68

第二部分 无穷

第六章 伊万的洞察力

数到无穷／84

第七章 爱琴海边的遭遇

当有限遇到无限／103

第八章 特洛伊超人吉达

齐诺关于运动的悖论／116

第九章 寻找飞马座

无理数存在吗?／129

第十章 永无终结的一些事物

数学归纳法的逻辑／147

第十一章 其他一切都是人类的作品

令人惊讶的集合论／159

第三部分 真实

第十二章 一把筹码

数学真的反映了真实世界吗?／174

第十三章 谁取到了同花大顺?

利用概率作出预言／184

第十四章 双六与双幺

大数定律／201

第十五章 安娜的指控

对于真理的检验／215

第十六章 莫蒂默医生，我认定

科学和数学中的看似可信的推理／227

结束语

附录1 证明一切三角形都是等腰三角形／1

附录2 拆开三段论的一种方法／3

附录3 实数直线上无理数的密度／8

附录4 康托对实数不可数的证明／10

补充读物／13

我对人类学家是什么人或者他们是干什么的一无所知，于是我阅读了哈密顿·赖斯的记述，此人邂逅了居住在委内瑞拉南部奥里诺科河沿岸的雅诺马马印第安人(委内瑞拉一个好战的原始族落——译注)，于是我决定独自前去偏僻的委内瑞拉村庄埃斯梅拉达。当时是1960年，比拿破仑·查冈的畅销书《凶猛的人》的出版还早几年。我打了必需的预防针，买了对付疟疾的药丸，然后前往纽约的委内瑞拉领事馆申请签证。

我失望地被告知，我的签证需要两个月才能拿到。自以为从委内瑞拉驻附近国家的小领事馆获取签证会快一些，我飞到阿鲁巴岛，那里距离委内瑞拉的北部海岸只有16英里。我在一个星期天到达此地，结果却发现领事馆只在星期三开放。我等待了三天，徘徊在厌倦的边缘。星期三上午九点整，在一座昏暗的散发着酒精气味的木质办公楼里，我走上了两段摇摇欲坠的楼梯。领事办公室门外的标牌清楚地显示，这间办公室从上午九点开放到中午。我等候着。大约十一点十五分，一个外貌酷似悉尼·格林斯特里特(美国电影明星——译注)的人来了，他穿着一套白色西装，戴着巴拿马草帽，随之而来的还有朗姆酒的气味。他就是委内瑞拉领事。

“我能为你效劳吗?”他轻蔑地问道。

“我想要一份去往委内瑞拉的签证。”我边说道，边琢磨着他会不会询问原因。

“好，我可以给你弄到一份签证，不过需要花两个月时间!”他窃笑着说。

我沮丧不已，我跨越了一千英里来到一座贫瘠的小岛，为的却是享受在纽约时的同等待遇，我的头脑中闪现着疯狂的念头，比如找一个渔民带我穿越那道隔开阿鲁巴岛和大陆的海峡。然而，领事的窃笑让我燃起了希望，于是我询问是否有其他的方法可以加快办理。

“当然可以!”他说道，“只需五美元，你今天就能拿到它!”

我把一张五美元的钞票放到他的桌上。“请拿出你的护照。”他命令道。他抽出桌子中间的抽屉，取出一台机械冲压机，翻到护照上的一张空白页，然后盖上了去往委内瑞拉的签证印戳。我终于可以坐上去往加拉加斯(委内瑞拉首都——译注)的下一趟航班了。

飞机上，一个比我稍微年长些的英国人坐在我的旁边。“你以前去过加拉加斯吗?”他用纯正的英国口音问道，同时伸出了致以问候的右手。“我叫罗杰·胡伯。”他的表情仿佛我应该曾经听说过这个名字似的。了解到我打算去奥里诺科河旅行，他进而对我说：他有一样的梦想。他进而给我讲述约瑟夫·康拉德(波兰裔英国小说家——译注)的小说《黑暗的心》，又仿佛我从未听说过这本书似的。我全神贯注于他的故事，差不多同他自己一样关注，直到一阵雷雨毫无先兆地袭来。我们身旁的旅客们忧心忡忡地抓紧扶手。飞机前后颠簸，左右摇摆，颤抖着穿越过每一个危险的闪电，行进在倾盆的大雨和不祥的黑暗之中。罗杰丝毫不在意，继续讲他的故事，没有意识到我已不再听了。飞机突然停了下来，斜向左边，而大雨继续倾泻在机窗上，我看不见窗外的任何东西。

我的邻居继续谈论着，似乎什么事也没发生一样，直到驾驶员宣布：尽管飞机已经安全着陆，但是下飞机可能并非易事，飞机的腹部以下全部被水淹没了。驾驶员刚才选择将飞机迫降在水中，而没有在强风暴中冒险降落在靠近崎岖山岭的机场。踏着好奇的紧急救援人员临时搭建的舷梯，我们走下飞机。当我们离开飞机的时候，罗杰没有对此事件说一个字，也没有对我们浸满了水的行李所造成的不便说一个字。他继续口齿不清地谈论着刚果，不过我几乎没有搭理他所说的任何东西，而且渐渐地感到厌烦了。我要去的是奥里诺科河，不是刚果。他说，这是他第一次提到我们飞机的戏剧性事件，说他同样前往亚马逊河探险，远比任何紧急着陆惊险刺激得多。

等到我终于有时间把我的名字告诉他的时候，他面无表情地大声说，他知道有一位数学家就是那个姓，然后询问那与我的名字之间是否有任何联系。当人们询问相同的问题时，我逐渐习惯于说“他是我哥哥”。但是，罗杰说他的专业也是数学，然后透露了费马的辉煌传奇和他的“最后定理” (即费马大定理——译注)。这个著名的定理说，当n大于2时，方程x的n方+y的n方=z的n方对x、y、z不存在非零的整数解。罗杰能够使加拉加斯的航班时刻表看起来像是诺埃尔·科沃德(英国演员、剧作家和作曲家，尤以表演诙谐的世俗喜剧而著称——译注)的一部剧本。他用渲染着辅助字符结构的数学解释了这个定理。事实上，我们真正知道的只是，费马去世以后，他的儿子塞缪尔在藏书室里发现了丢番图(古希腊数学家——译注)的《算术》的一个译本，上面有他父亲手写的一条旁注：“我已经发现了一种确实不同凡响的证明方法，而这个边角太小了，我写不下。”

我们中很少有人学过了逻辑的规则或者证明的原则。即使是数学家们似乎也是单纯地通过本能的知识和语言的经验而学会它们的，就像孩童学会语法要素一样。然而，当我们理性地反思逻辑和证明，它们是什么，它们做什么，我们往往会同意，从形式上来说，一项证明是形式合理的命题的有限集合，并且通过推论，与背后的基本假设相结合。举例来说，如果我们打算证明等腰三角形的两底角相等，我们必须从某个地方开始。证明意味着信仰是普遍的。如果欧几里德的证明被接受了，所有人都必须同意“通过任何两点的直线只有一条”。这正是欧几里德的第一条基本假设。这条假设，与其他4条一起，组成了支撑欧几里德几何学上层建筑的基石。边角注释是皮埃尔·费马的典型特征。他是图卢兹(法国南部城市——译注)的一位律师和法官，而且，尽管被认为是他那个时代最伟大的数学家，他仅仅在业余时间进行数学研究。他没有出版自己的著作，不过他更喜欢把它们写成极富天赋的书信，寄给朋友们和专业数学家们。皮埃尔频繁地把他的想法写在书页空白处，而且常常是在于法庭上倾听诉状的时候。不过，罗杰描绘了一幅塞缪尔的奇特画像，他的外表看起来大概是一个眼睛凸出的年轻人，长着一只长得出奇却很英俊的鼻子、一张忧郁的脸以及一张带有悲剧色彩的嘴巴，这个年轻人似乎总是叹息自己失去了什么。按照罗杰的说法，塞缪尔当时在藏书室里睡觉，这时一阵怒号的风把一扇窗户吹开了。窗框把丢潘图的《算术》推倒在窗台上，书背朝下，打开了一页纸，夹着一枝压扁的干燥的玫瑰。然后它静静地躺着那里，直到塞缪尔点燃了一枝蜡烛，看见了这条简短的注释。从相当程度上说，正是有了这条注释，才有了现代数论。  

罗杰讲完故事后，提议我们应该一同前往埃斯梅拉达。那时我只有18岁，而罗杰比我大10岁。他的脑袋旁边已经有一条后缩的发缘线了，他的双下巴已经开始显现，尽管他企图用新长的胡须来掩盖。而且，虽然他无疑很古怪，感情迟钝，甚至可能有点疯狂，我仍然希望有人在旅途中陪伴我——这趟旅途正渐渐让我感到恐惧。罗杰沉默的时候有一种恼人的习惯，就是偶尔让他的指关节噼啪作响。他会吻合两只手的手指，把他的手掌向外翻出，然后把两只手向前推，制造噼里啪啦的噪音。不过，他的西班牙语比较流利，而我正好需要一位翻译。我丝毫不知道自己会陷入什么样的麻烦，天真地以为我可以依靠少量的粮食、一顶帐篷和疟疾药丸在丛林之中一路前行。

在他的提议下，我们搭上了委内瑞拉军用运输队的便车，沿着奥里诺科河，在通向500英里之外丛林深处的卡布鲁塔(位于委内瑞拉中部——译注)的泥土道路上前行。当时是纯真的年代，两个外国公民还可以非正式地干这样的事情。运输车队不能行进到比卡布鲁塔更远的地方，因为没有桥梁通向河对岸，尽管如此，我们接受了这一交通工具，认为我们至少会到达奥里诺科河，尽管是在埃斯梅拉达下游一千英里远的地方。走了大约250英里之后，我们来到了一段被洪水冲蚀的山间之字形坡道。一辆覆盖着帆布的军用卡车在一处悬崖边摇摇晃晃，似乎随时都会滑人数百英尺深的峡谷。当时是夜晚，而且下着小雨，虱虫正随时准备着去吞噬那些愚蠢到不加防范地行走在路上的人。二十多名士兵各就其位，努力把卡车推向更坚固的路面，而我的位置则在右边的尾灯处，无疑是吸引蚊子和龙虱的主要区域。我的衣服上爬满了紧贴不放的龙虱，罗杰吓得浑身发抖——这就是他向往的探险。

P3-6

我对数学的了解要从一本俄国小说谈起。在我17岁生日的早上，哥哥送给我两本书作为礼物，用他的话说“也许会喜欢读的”。其中之一是本532页的平装书，陀斯妥耶夫斯基的《罪与罚》；另一本是472页的代数学课本。我的哥哥虽然拥有敏锐的数学洞察力，但他却没有注意到，一个人是不会像阅读一本俄国小说那样来阅读一本现代代数学课本的。第二天早晨，我躺在床上开始阅读那本小说，没吃午餐和晚餐一直读到深夜。拉斯柯尔尼科夫双臂挥舞着斧子，用斧柄砸向那个老太婆的脑袋，书中的情节让我感到热血沸腾，像发了狂一样地着迷。我十分信任哥哥对于魅力文学的选择，小说接近末尾时，这种信任感是如此强烈，以至于我转向另一本书时，期待着它能与第一本一样引人入胜。第三天早晨，我琢磨着第二页中的一句话思索了好几个小时：“显然，从定义一个完备域的假设出发，任何可以被证明或者推导出的结果在任何特定的完备域内都会是正确的……”

困惑地盯着“显然”两个字，我穿衣起床，花了一天时间再次尝试着去理解我的新书，然而这一次我没能看完第五页。那年夏天，我艰难地读了前面几章。现代代数学是关于什么的?读到第四章，竭力地完成了尽可能多的练习之后，我对抽象概念有了好感。然而我还是不能理解所有这些抽象的数学概念与生活本身之间究竟有什么联系。

解决难题时信心所带来的喜悦和见证一项证明之完美时所感受的激动是如此地强烈。对于少年时代的我来说，数学逐渐成为一列有待攀登的山脉，抽象的概念如稀薄空气一般，穿越它时所面临的挑战，只会使得在顶点处所看到的景色更加宏伟。每个峰顶上都存在一个稳固的已被证明或检验过的立足之处，于此可以看见别人正在薄云之上的更高处召唤着我，这些薄云覆盖着一条条山间小道，而后者正穿梭于开满鲜花的思想的雨林之中。

执教数学的30年里，我收集了有关那些曾尝试从最陡峭的山坡经过而到达顶峰的非凡的学生和数学同仁的故事。这些故事关涉到攀登的历程，从峰顶即便是从最小的山峰上所看到的景色，探索带来的兴奋感，对智慧与美丽不期而遇的探知，以及由数学证明的必然性所带来的自信。这些同样是人类的故事，从根本上说这些故事所带来的兴奋不至于与一本俄国小说所带来的是怎样的迥然相异。我渐渐明白了哥哥在不经意间所表达的含义。

然而这本书还有另一个含义，这一含义有关数学，有关逻辑，有关科学事实。为了欣赏现代数学，我们不可避免地要去考查数学是怎样传播的，审问定理的证明是怎样说服我们的直觉的。什么是证明?我们也许会惊奇地发现，即使是数学这样一个因精确而被人羡慕的学科，也没有任何放之四海而皆准的答案。一个正式的答案或许是一组从一个已确定的事实(公理、定理等等)出发的有序命题，每一条命题在逻辑上遵循它前面的一条命题。但是，数学家们遵循着一条更为非正式的习惯。许多在主流数学中被接受和使用的定理，它们的证明几乎没有遵守任何严格的有关证明的定义。

数学享有一种荣誉，它是一种可以产生普遍真理的智力上的追求。但是与我们许多人的认知正好相反，那些真理并不是通过无懈可击的逻辑论证的链条来传播的。正如音乐不仅仅是音符一样，证明的本质所包含的不仅仅是纯粹的逻辑。这似乎比较奇怪，虽然数学看起来独立于文化，但是个人判断仍然在此中扮演着中心角色。数学家们如何来确定一项证明是否是完整的?如果没人能找出一个错误那么它就是完整的?或者它来自于一种利用知识和经验来迎合个人判断的内在感觉?数学领域正确感觉的一个重要源泉来自经验，它同时也伴随着由理性批评和争论发展而来的逻辑。公元前6世纪初的某个时候，两件事情戏剧性地改变了西方文明诠释世界的方式。第一件是因果关系的使用，以此来反对用超自然力量来解释自然现象；我们可以说，自然在那时第一次被发现了。第二件事是理性批评和争论的流行。这些进步发生于地中海东部伟大的政治剧变之后，剧变导致了古希腊城市政治体系的深刻变化。雅典的民主意味着公民能够参与政府和司法，能够自由地辩论和审问政治思想。而在古希腊城邦建立之前，统治的变更常常意味着仅仅从一个暴君变为另一个暴君而已。按照传统观点，古希腊哲学起始于公元前585年，此时泰勒斯(哲学家，希腊七贤之一——译注)和其他的爱奥尼亚商人游历到埃及和已知世界的其他地方。他们带回了与建筑行业相关的丰富的数学应用知识。我们可以想象，当泰勒斯的船只穿越地中海，沿着爱琴海岸回到他的家乡米利都(位于今天的土耳其边境——译注)的时候，他正在思考和分析着自己在那段漫长的归途之中学到的知识精髓时的情景。

在泰勒斯和毕达哥拉斯时代之后的300年里，古希腊哲学的创立者们，从柏拉图和他的雅典学派，到欧几里德和亚历山大博物馆的建立，将逻辑推理发展成为一套有原则的体系——能够更有效地研究纯粹抽象的无形的数学世界。在欧几里德完成他的《几何原本》前不久，第三个里程碑式的时刻出现了，此时亚里士多德(古希腊哲学家，柏拉图的学生——译注)将常规的逻辑形式化。他构造了逻辑的14种基本模型，比如“所有人都终有一死；所有的英雄都是人；因此，所有的英雄都终有一死”。到公元前300年，欧几里德在13卷羊皮纸上写下了《几何原本》，此时逻辑推理已经相当成熟了，足以简化为少量的规则。本书的第一部分一“逻辑”，就是有关这种逻辑。

然而逻辑推理不能够对付怪异的无穷。齐诺，这位富有怀疑精神的古希腊数学家，构造了运动的辩论法，他使用想象的逻辑的铁链，使论证卷入铿锵的自相矛盾之中。柏拉图告诉我们，齐诺和他的情人帕曼尼迪思(古希腊哲学家，伊利亚德学派的创始人——译注)从埃利亚(意大利西海岸)来到雅典，准备在此度过泛雅典娜节。在雅典的时候，大概是活动之间，齐诺把自己的著作读给了一个名叫苏格拉底(古希腊哲学家，柏拉图的老师——译注)的年轻人。在齐诺的诸多论断中，有一个论断是：如果给予乌龟一个领先优势，即使是箭步如飞的阿基里斯(荷马史诗《『尹利亚特》中的英雄——译注)也不能追上这只缓慢爬行的乌龟。齐诺指出，这是因为，阿基里斯到达乌龟的起点的瞬间，乌龟已经移动到前面一个更远的位置了；在那一点，论断重复着，乌龟又被给予了一个新的领先优势。阿基里斯为了追上这只乌龟，将不得不永远重复如此。在另一个论断中，齐诺告知我们，运动是不可能完成的，因为，让一个物体移动任意一段距离，它必须首先到达一半距离处，然后是剩余距离的一半处，如此延展，永远不得不到达某个剩余距离的一半处，所以，永远不可能移动完整的距离。

齐诺举出这些难题或许是为了激发理性的讨论，或者仅仅是为了刺激雅典的哲学家和体育爱好者们。他被称作“长着两条舌头的齐诺”，因为他常常正反辩论他自己的论断，这些论断常常要么涉及无穷大，要么涉及无穷小，而且对于几何学的发展有着持久的影响。它需要相当长时间的考验。欧几里德之后不久，除了齐诺和阿基米德(古希腊数学家、工程师、物理学家——译注)为了理解无穷而进行过短暂的尝试之外，人们不得不等待了差不多2000年才直接面对无穷，直到逻辑推理囿于传统的规则被放松，用于对付齐诺提出的一些困难。1629年，伽利略的一个学生，波拿文都拉·卡瓦列利，设计了一种方案，绕开了齐诺提出的问题，同时也忽略了他自己的论断的逻辑问题；奇怪的是，他的不合逻辑的论断导致了正确的结果。卡瓦列利的伟大贡献在于，让直觉，而不是逻辑来指导数学。他的不合逻辑的思想激发了创立微积分学的驱动力。微积分学是一套全新的数学，能够被难以置信地应用于真实世界之中——从预言行星运动到设计乐器。

卡瓦列利的不合逻辑方法在极大程度上依赖于强烈的直觉。在差不多200年里，全新的数学概念，那些成长在常规逻辑边界之外的概念，通过直觉来指引，并以直觉来接受，而不曾通过逻辑。强烈的直觉把数学带到了一个崭新的辉煌的高度，直到18世纪，才渐渐误入歧途，此时矛盾开始萌芽。到19世纪中叶的时候，直觉和逻辑发生了争执。曾经被直觉证明为正确的定理被逻辑证明是错误的。需要一种全新的逻辑，一种能够有效处理无穷大和无穷小的错综复杂的逻辑。人们不得不等到19世纪后期集合论的发现，才终于看到了那种全新的逻辑。集合论是用适当的方式来定义数字的数学分支。集合论为我们提供了算术学的公理，同时也导致了深层次的疑问，特别是关于数学自身基础的疑问。集合论呈现给我们的是一种适用于数学所有分支的普遍统一的语言。

乔治·康托拥有迷人的“非凡的数学教授”头衔(在德国的哈雷大学)。他在19世纪发展了集合论，用于研究实数，而且借此他被引领到数学领域中一个最为革命性的结论：无穷存在大小的不同。是什么样的逻辑导致了那种想法呢?康托花费了大量时间写作哲学和神学论文，以此捍卫他的关于无穷的结果，因为这样的结论公然反抗了直觉。同时，他对伊丽莎白一世时代的文学有着强烈的爱好，而且他耗费了许多时间来尝试证明莎士比亚戏剧的真正作者是弗朗西斯·培根。他玩耍在逻辑的边缘。

直到20世纪初期，集合论的公理才开始以公式表述，许多数学家做了大量的工作，为集合论的基础构建了正确的框架。另一方面，人们仍然相信莎士比亚的戏剧是他自己撰写的。

1931年，库尔特·哥德尔震惊了数学界，他指出，集合论的公理是不完备的；事实上，他指出，无论给这一体系添加多少新的公理，总会有一条命题在集合论公理的框架之内不能被证实或者被证伪。谈及证实或者证伪，那是指在永恒的未来任何人都不能证实或者证伪这一命题。这对于数学肯定是一次巨大的打击，就像毕达哥拉斯发现不能用同一把尺子测量一个正方形的边和对角线一样。即使是齐诺的悖论也不能与这一发现相比拟。持久的问题是，古往今来，有些事物为何似乎永无终结。本书的第二部分一“无穷”，就是有关于此的逻辑。

尽管逻辑学家在公理化集合论的形式方面碰到了麻烦，但是我们都乐意承认，我们能够计算，能够面对惊人的数学并利用数学来正确地构造和支撑科学。拘泥于形式的逻辑问题似乎不会干扰物质的真实性。把条件从无懈可击的证明放松为看似可信的证明，所付出的代价会换来一个巨大的好处：它使科学方法变得有效了。弗朗西斯·培根爵士，这位科学方法之父(而且不是莎士比亚戏剧的作者)提出，演绎推理在研究物质世界的时候是不合适的。他主张，一个人通过观察特定的具体情形，可以得到看似可信的一般结论。

科学依赖于3种推理。毫无疑问，它依赖于常规的逻辑，而且含蓄地依赖于无穷的逻辑，但它最为重要的依赖是看似可信的推理。它基于一种思想，即被人们发现为真实的东西往往是真实的。在数学证明中，“往往”指的是“无限地经常”，但是科学上的证明远没有那么严格。太阳往往从天空中升起，足以使我在一生中都相信它会在明天再次升起。另一方面，虽然我从未经历过毁灭性的地震，“从未”并不足以让我相信我在将来不会经历一次。尽管常规的演绎推理不可避免地从一般假设出发来影响特定的情形，但看似可信的推理采用的却是相反的途径，从特定的观察来得到一般的(但仅仅是看似可信的)结论。没有人能够否认，这似乎将真理的力量弱化到了一种似是而非的状态，然而弗朗西斯·培根爵士在1620年引入这一概念的时候，他改变了我们对于知识的理解，而后来建立的数学(概率和统计)支持了他的思想，永远地改变了科学，尽管人们又等待了150年，才等来了托马斯·贝叶斯。他建立了一个对“似乎可信”进行量化的可靠的数学根基。关于看似可信的推理，便尽在本书的第三部分一“真实”之中。

这些是人类的推理和逻辑的基本形式，即我们人类认为某件事物是真实的依据：常规的逻辑，关于证明和分类；无穷的逻辑，关于无穷和数字；看似可信的推理，关于概率和自然——甚至雨林。

乍眼看来，数学常常令人胆寒——不仅仅对于初学者，甚至对于受过训练的科学家们来说也是如此。遗憾的是，它并不总是像印度人对于毕达哥拉斯定理(在中国被称为勾股定理——译注)的证明那样非常清晰，后者仅仅是一张图和一个字“瞧”。然而在本书中，我希望通过翻山越岭，透过缓缓飘动的云朵看见思想的雨林，从而展现数学的美以及跋涉于数学旅程之中所伴随的愉悦，正如欧几里德在2300年前所做的那样。而在完成了深入抽象世界的长途旅行之后，回归到统治自然界的科学的看似可信的逻辑中来，会让人感到神清气爽。

充满洞见、极富启发、富于思辩且饱含幽默，这绝然是一部睿智的作品。

——哈佛大学科学史教授，比特·加里森

约瑟夫不愧为一位天才的教授，他不仅通晓数学究竟是什么，更重要的是他深知如何把数学作为故事来讲授。

——英国华威大学数学教授，艾恩·斯蒂瓦特

这是一部必读书，不仅对于学习数学的人，即使对于学习化学、物理、生物、经济……乃至语言、文学和艺术的人也同样如此。

——哈佛大学阿加西斯学院教授，R.C.莱温顿

《雨林中的欧几里德》巧妙而富于创见地揭示了数学的实质与数学精神。

——日本广岛市市长，秋叶忠利

约瑟夫开创了一种极具吸引力的写作方式，他在每日的现实生活与奥妙的数学世界之间架起了一座奇妙的桥秉。

——哈佛大学数学系主任，约瑟夫·哈里斯

扬弃了复杂的证明和枯燥的专业语言，取而代之的是有趣的故事和丰富的经验，其结果便是智慧、奇妙和令人振奋。

——《书业评论》